Isometrische Isomorphie

Isometrische Isomorphie beschreibt in der Funktionalanalysis einen Zusammenhang zwischen zwei unterschiedlichen Räumen, die geometrisch identisch sind.

Definition

Zwei normierte Räume <math>(X,\Vert \cdot\Vert_X)</math> und <math>(Y,\Vert \cdot\Vert_Y)</math> sind isometrisch isomorph, wenn zwischen ihnen ein Vektorraumisomorphismus <math>T: X \rightarrow Y</math> existiert, der gleichzeitig eine Isometrie ist, also <math>\Vert T x \Vert_Y = \Vert x \Vert_X</math> erfüllt. Man schreibt dann <math>X \cong Y</math>.

Dies bedeutet, dass man die Räume eineindeutig miteinander identifizieren und Längenmessungen im einen auf den anderen übertragen kann. Der Operator <math>T</math> übernimmt die Identifizierung von Elementen aus <math>X</math> mit Elementen aus <math>Y.</math> Die Isometrie von <math>T</math> sichert die Normerhaltung bei diesem Wechsel. Offenbar ist die Umkehrung <math>T^{-1}</math> wieder eine isometrische Isomorphie.

Beispiele

• Jeder separable unendlich-dimensionale Hilbertraum ist isometrisch isomorph zum Raum <math>\ell^2</math> aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist.
• Zwei Hilberträume sind genau dann isometrisch isomorph, wenn ihre Hilbertraumdimensionen übereinstimmen.
• Jeder normierte Vektorraum ist isometrisch isomorph zu einem Untervektorraum des Raumes <math>(C(K),\Vert \cdot\Vert_\infty)</math> der stetigen Funktionen auf einem geeignet gewählten kompakten topologischen Raum <math>K</math> nach <math>\R</math> mit der Supremumsnorm.
• Nach dem Satz von Banach-Mazur ist jeder separable, normierte Raum isometrisch isomorph zu einem Unterraum des Raums <math>(C([0,1]),\Vert \cdot\Vert_\infty)</math> der stetigen Funktionen vom Einheitsintervall <math>[0,1]</math> nach <math>\R</math> mit der Supremumsnorm.

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer Verlag, 2005. ISBN 3-540-43586-7