Isogenie

In der algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, nennt man einen Homomorphismus <math>\phi\colon A\rightarrow B</math> von Abelschen Varietäten <math>A</math> und <math>B</math> eine Isogenie, wenn <math>\phi</math> surjektiv ist und einen endlichen Kern besitzt. Gibt es eine Isogenie <math>\phi\colon A\rightarrow B</math>, so heißen die Abelschen Varietäten <math>A</math> und <math>B</math> isogen. Speziell sind Isogenien „rationale“ Abbildungen zwischen elliptischen Kurven, welche das Gruppengesetz respektieren.<ref>F. Lemmermeyer: Elliptische Kurven 1.</ref>

Definition

Sind <math>A</math> und <math>B</math> Abelsche Varietäten, so sind die folgenden Aussagen über einen Homomorphismus <math>\phi\colon A\rightarrow B</math> äquivalent<ref name="MilneAVPropIsogeny" />:

<math>\phi</math> ist eine Isogenie, das heißt <math>\phi</math> ist surjektiv und der Kern von <math>\phi</math> ist endlich.
<math>A</math> und <math>B</math> besitzen die gleiche Dimension und <math>\phi</math> ist surjektiv.
<math>A</math> und <math>B</math> besitzen die gleiche Dimension und der Kern von <math>\phi</math> ist endlich.

Ist eine (und damit jede) dieser Bedingungen erfüllt, so nennt man <math>A</math> und <math>B</math> isogen.

Der in diesem Artikel behandelte Begriff einer Isogenie Abelscher Varietäten lässt sich verallgemeinern zum Begriff einer Isogenie von Gruppenschemata.

Einzelnachweise

<references> <ref name="MilneAVPropIsogeny">James Milne: Abelian Varieties. Course Notes, version 2.0, 2008, Proposition 7.1. (englisch)</ref> </references>

Literatur

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