Isodynamischer Punkt

Die beiden isodynamischen Punkte gehören zu den ausgezeichneten Punkten eines Dreiecks.

Datei:Isodynamic point.svg

Gegeben sei ein Dreieck ABC mit den Halbierenden seiner Innen- und Außenwinkel. U_a sei der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden von <math>\alpha</math> mit der Geraden BC, V_a der Schnittpunkt der entsprechenden Außenwinkelhalbierenden mit BC. Entsprechend seien die Punkte U_b und V_b (jeweils auf CA) sowie U_c und V_c (jeweils auf AB) definiert. Dann haben die drei Kreise mit den Durchmessern [U_a V_a], [U_b V_b] und [U_c V_c] zwei Punkte S und S' gemeinsam. S wird als 1. isodynamischer Punkt bezeichnet (Kimberling-Nummer <math>X_{15}</math>), S' als 2. isodynamischer Punkt (Kimberling-Nummer <math>X_{16}</math>).

Bei gleichseitigen Dreiecken fallen die isodynamischen Punkte zusammen (nämlich mit dem Schwerpunkt, dem Inkreismittelpunkt, dem Umkreismittelpunkt und dem Höhenschnittpunkt). Dreiecke, die nicht gleichseitig sind, haben zwei verschiedene isodynamische Punkte. Die isodynamischen Punkte wurden 1885 von Joseph Neuberg erstmals studiert und benannt.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Koordinaten

Die trilinearen Koordinaten der isodynamischen Punkte sind

<math>\sin\left(\alpha\pm\frac{\pi}{3}\right) \, : \, \sin\left(\beta\pm\frac{\pi}{3}\right) \, : \, \sin\left(\gamma\pm\frac{\pi}{3}\right).</math><ref name="ETC-X15">{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Clark Kimberling|Clark Kimberling: }}{{#if:|{{#if:Enyclopedia of Triangle Centers, X(15), X(16)|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Enyclopedia of Triangle Centers, X(15), X(16)}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X15%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Enyclopedia of Triangle Centers, X(15), X(16)}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X15}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Enyclopedia of Triangle Centers, X(15), X(16)}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:{{#if: 2025-01-26 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

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Die baryzentrischen Koordinaten sind

<math>\left( a \cdot \sin\left(\alpha\pm\frac{\pi}{3}\right) \right) :

\left( b \cdot \sin\left(\beta\pm\frac{\pi}{3}\right) \right) : \left( c \cdot \sin\left(\gamma\pm\frac{\pi}{3}\right) \right).</math><ref name="ETC-X15" />

Dabei sind <math>a, b, c</math> die Seitenlängen des Dreiecks und <math>\alpha, \beta, \gamma</math> die Größen der Innenwinkel. Die Pluszeichen gelten für den 1. isodynamischen Punkt (<math>X_{15}</math>), die Minuszeichen für den 2. isodynamischen Punkt (<math>X_{16}</math>).

Eigenschaften

• Das gegebene Dreieck geht durch Punktspiegelung an einem der isodynamischen Punkte in ein gleichseitiges Dreieck über.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
• Die beiden isodynamischen Punkte sind isogonal konjugiert zu den beiden Fermat-Punkten.<ref name="ETC-X15" />
• Die Inversion (Kreisspiegelung) am Umkreis führt einen der beiden isodynamischen Punkte in den anderen über.<ref name="ETC-X15" />
• Die Fußpunktdreiecke der beiden isodynamischen Punkte sind gleichseitig.<ref name="ETC-X15" />
• Die isodynamischen Punkte liegen auf der Brocard-Achse.<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Clark Kimberling|Clark Kimberling: }}{{#if:|{{#if:Enyclopedia of Triangle Centers, Central Lines (95)|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Enyclopedia of Triangle Centers, Central Lines (95)}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/CentralLines.html%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Enyclopedia of Triangle Centers, Central Lines (95)}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/CentralLines.html}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Enyclopedia of Triangle Centers, Central Lines (95)}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:{{#if: 2025-01-26 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

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• Bei den drei Kreisen handelt es sich um Kreise des Apollonios, deren Mittelpunkte auf der Lemoine-Gerade liegen.

Literatur

• Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 222, 294–297 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry).

Weblinks

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• Eric W. Weisstein (MathWorld): Isodynamic Points (First isodynamic Point und Second isodynamic Point)

Einzelnachweise

<references />