Involut-Funktion
Vorlage:Hinweisbaustein Die Involut-Funktion wird zur Berechnung bei Evolventenverzahnungen verwendet. Die Involut-Funktion ist definiert als:
- <math>\operatorname{inv}(\alpha) = \tan (\alpha) - \alpha \quad \text{mit} \quad -\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}</math>
Beispiel:
- <math>\operatorname{inv}(20^\circ) = \tan (20^\circ) - \frac{20^\circ \cdot \pi }{180^\circ} = \tan (20^\circ) - \frac{\pi}{9} = 0{,}014904384 \ldots = \operatorname{inv}\left(\frac{\pi}{9}\right)</math>
Siehe auch Evolvente.
Umkehrfunktion
Die Umkehrfunktion der Involut-Funktion sei im Folgenden mit <math>\operatorname{inv}^{-1}</math> bezeichnet. Sie ist eine auf ganz <math>\R</math> definierte, analytische Funktion, die streng monoton wachsend ist und deren Funktionsgraph punktsymmetrisch zu (0,0) ist und betragsmäßig durch <math>\pi/2</math> beschränkt ist (also ähnlich der reellen Arcustangensfunktion). Die Werte dieser Umkehrfunktion der Involut-Funktion kann man effizient iterativ bestimmen. Aus der Reihenentwicklung der Involut-Funktion
- <math>\operatorname{inv}(\alpha) = \tan (\alpha) - \alpha = \frac{1}{3} \alpha^3 + \frac{2}{15} \alpha^5 + \frac{17}{315} \alpha^7 + \dots </math>
lässt sich ableiten, dass für die inverse Involut-Funktion
- <math>\alpha = \operatorname{inv}^{-1}(\tan(\alpha) - \alpha) = \sqrt[3]{3\ \operatorname{inv}(\alpha)} - \frac{2}{5}\operatorname{inv}(\alpha) + \Theta\left(\operatorname{inv}(\alpha)^\frac{5}{3}\right) \approx \sqrt[3]{3\ \operatorname{inv}(\alpha)} - \frac{2}{5}\operatorname{inv}(\alpha)</math>
eine akzeptable Näherung ist, falls <math>|\operatorname{inv}(\alpha)|</math> genügend klein ist. Mit Hilfe des Newton-Verfahrens lässt sich dieser Näherungswert für <math>\alpha</math> weiter verbessern:
- <math> \alpha_{i+1} = \alpha_i + \frac{\operatorname{inv}(\alpha)-\tan(\alpha_i)+\alpha_i}{\tan(\alpha_i)^2} \quad \text{und} \quad \alpha_0 = \sqrt[3]{3\ \operatorname{inv}(\alpha)} - \frac{2}{5}\operatorname{inv}(\alpha)</math>
Ist <math>|\operatorname{inv}(\alpha)| > 2</math>, sollte man als Startwert <math>\alpha_0 = \arctan(\operatorname{inv}(\alpha))</math> wählen, damit obiges Newton-Verfahren auch konvergiert.