Integralkosinus
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Der Integralkosinus ist eine Funktion, in deren Funktionsvorschrift ein Integral und die Kosinusfunktion auftreten. Diese Integralfunktion kann mit elementaren Methoden nicht ohne Integral dargestellt werden.
Der Integralkosinus ist definiert als:
- <math>{\rm Ci}(x) := \gamma + \ln x + \int_0^x\frac{\cos t-1}{t}\,dt \quad = -\int_x^\infty\frac{\cos t}{t}\,dt</math>
Dabei ist <math>\gamma=0{,}577215...</math> die Euler-Mascheroni-Konstante.
Eigenschaften
- Das in der Definition auftretende Integral wird auch mit <math>\operatorname{Cin}</math> bezeichnet:
- <math>\operatorname{Cin}(x) := \int_0^x\frac{1-\cos t}{t}\,dt</math>
- mit der Beziehung:
- <math>\operatorname{Cin}(x)=\gamma+\ln x-\operatorname{Ci}(x)\,</math>
- Analog zur Ableitung des Integralsinus Si(x):
- <math>\operatorname{Si}'(x) = \frac{\sin x}{x}</math>
- gilt:
- <math>\operatorname{Ci}'(x) = \frac{\cos (x)}{x}</math>
- Analog der komplexen Eulerformel-Definition des Cosinus
- <math>\cos x = \frac{1}{2} \left( \mathrm{e}^{\mathrm{i} x} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x} \right)</math>
- gilt mit der Integralexponentialfunktion <math>\operatorname{Ei}</math>
- <math>\operatorname{Ci}(x) = \frac{1}{2} \left( \operatorname{Ei}(\mathrm{i}\ x) + \operatorname{Ei}(-\mathrm{i}\ x) \right)</math>
- Es lässt sich eine überall konvergente Reihe angeben:
- <math>\operatorname{Ci}\left(x\right)=\gamma+\ln x-\frac{x^2}{2!\cdot2}+\frac{x^4}{4! \cdot4}-\cdots \quad =\gamma+\ln x+\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!\cdot 2k}</math>
- Folgende unendliche Summe mit Integralkosinuswerten als Summanden ergibt diesen Wert:
- <math>\sum_{n = 1}^{\infty} \operatorname{Ci}(2\pi n) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\gamma</math>
- Denn es gelten folgende Integrale:
- <math>\int_{0}^{\infty} \frac{x\exp(-wx)}{x^2+1} dx = \frac{1}{2}\pi\sin(w) - \operatorname{Si}(w)\sin(w) - \operatorname{Ci}(w)\cos(w)</math>
- <math>\int_{0}^{\infty} \frac{x}{(x^2+1)[\exp(2\pi x)-1]} dx = \frac{1}{2}\gamma - \frac{1}{4}</math>
Anmerkung: In verschiedenen Formelsammlungen wird der Integralkosinus mit umgekehrten Vorzeichen definiert.
Eng verwandt ist der Integralsinus <math>\operatorname{Si}(x)</math>, der zusammen mit dem Integralcosinus <math>\operatorname{Ci}(x)</math> in parametrischer Darstellung eine Klothoide bildet.
Siehe auch
Weblinks
- {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Cosine Integral. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}