Immersion (Mathematik)
In der Differentialtopologie versteht man unter einer Immersion eine glatte Abbildung <math>F\colon M\rightarrow N</math> zwischen Mannigfaltigkeiten <math>M</math> und <math>N</math>, wenn der Pushforward <math>F_{\ast p}\colon T_pM\to T_{F(p)}N</math> dieser Abbildung an jedem Punkt <math>p\in M</math> injektiv ist. Ist darüber hinaus <math>F</math> eine topologische Einbettung, so spricht man von einer (glatten) Einbettung. In diesem Fall ist das Bild der Abbildung eine zu <math>M</math> diffeomorphe Untermannigfaltigkeit von <math>N.</math>
Die Eigenschaften des Bildes im allgemeinen Fall werden im Eintrag Immersierte Mannigfaltigkeit beschrieben.
Immersion im euklidischen Raum
Liegt der Spezialfall <math>F:\mathbb{R}^m\rightarrow \mathbb{R}^n</math> einer Abbildung zwischen euklidischen Räumen vor, dann stellt <math>F_\ast: T_p\mathbb{R}^m\rightarrow T_{F(p)}\mathbb{R}^n</math> nichts anderes als die totale Ableitung bzw. die Jacobi-Matrix <math>DF(p)\colon\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R}^n</math> dar, wobei der euklidische Raum in natürlicher Weise mit seinem Tangentialraum und eine lineare Abbildung mit einer Matrix identifiziert werden.
Immersion in Mannigfaltigkeiten
Allgemein ist eine differenzierbare Abbildung <math>F:M\rightarrow N</math> genau dann eine Immersion, wenn für alle <math>p\in M</math> der Rang der linearen Abbildung <math>F_\ast</math> gleich der Dimension der Mannigfaltigkeit <math>M</math> ist, also gilt
- <math>\operatorname{rang} F_p = \dim(\operatorname{Bild}(F_{\ast p})) = \dim M.</math>
Reguläre Homotopie
Zwei Immersionen <math>F_0,F_1\colon M\to N</math> heißen regulär homotop, wenn es eine Homotopie <math>F\colon M\times[0,1]\to N</math> gibt mit <math>F(m,0)=F_0(m)</math> und <math>F(m,1)=F_1(m)</math> für alle <math>m\in M</math>, so dass für jedes <math>t\in\left[0,1\right]</math> die Abbildung
- <math>F_t\colon \left\{\begin{aligned}
M&\to N\\ m &\mapsto F(m, t)\end{aligned}\right.</math> wieder eine Immersion ist.
Mit den regulären Homotopieklassen von Immersionen beschäftigt sich die Hirsch-Smale-Theorie.
Siehe auch
Literatur
- John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1.