Ideal (Verbandstheorie)

In der abstrakten Algebra ist ein Ideal eines Verbandes <math>(V, \vee, \wedge)</math> eine Teilmenge <math>I,</math> die bezüglich beider Verbandsoperationen und bezüglich <math>\wedge</math> sogar mit Elementen aus dem gesamten Verband abgeschlossen ist. Die Bezeichnung ist angelehnt an den Begriff des Ideals in der Ringtheorie.

Definition für Verbände

Sei <math>V</math> ein Verband. Ein Ideal <math>I</math> von <math>V</math> ist eine nicht leere Teilmenge von <math>V</math> für die gilt:

• <math>I</math> ist ein Unterverband von <math>V</math> und
• für alle <math>a \in I</math> und <math>b \in V</math> ist <math>a \wedge b \in I.</math>

Allgemeine Definition

Eine Halbordnung <math>(P,\le)</math> heißt bedingter Oberhalbverband (, kurz: Cusl), falls jedes beschränkte Paar ein Supremum besitzt, also falls für alle <math>a, b \in P</math> gilt: Existiert <math>u \in P</math> mit <math>a, b \le u</math>, so existiert eine kleinste obere Schranke <math>a \vee b = \sup\{a, b\} \in P</math>.<ref name="SLG">Viggo Stoltenberg-Hansen, Ingrid Lindstrom und Edward R. Griffor: Mathematical theory of domains. Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, 1994.</ref>

Sei <math>(P, \le)</math> ein Cusl. Eine nicht-leere Teilmenge <math>I \subseteq P</math> heiße ein Ideal von <math>P</math>, falls gelten:<ref name="SLG"/>

• <math>I</math> ist nach unten abgeschlossen, d. h., für <math>a \in P</math>, <math>b \in I</math> und <math>a \le b</math> gilt <math>a \in I</math>.
• Sind Paarmengen <math>\{a, b\} \subseteq I</math> in <math>P</math> beschränkt, d. h., es gibt ein <math>u \in P</math> mit <math>a, b \le u</math>, so ist <math>a \vee b \in I</math>.

σ-Ideale

Ein Cusl heißt σ-Cusl, falls für alle abzählbaren Teilmengen <math>A = \{a_n\}_{n\in\N} \subseteq P</math> von <math>P</math> gilt: Ist <math>A</math> nach oben beschränkt, so gibt es ein Supremum <math display="inline">\sup A = \bigvee_{n\in\N} a_n \in P</math>.

Ein Ideal <math>I \subseteq P</math> eines σ-Cusl <math>P</math> heißt σ-Ideal, falls alle in <math>P</math> nach oben beschränkten, abzählbaren Teilmengen von <math>I</math> ihr Supremum in <math>I</math> haben. Das heißt, ist <math>\{a_n\}_{n\in\N} \subseteq I</math> und gibt es ein <math>u \in P</math>, sodass <math>a_n \le u</math> für alle <math>n\in\N</math>, so ist <math display="inline">\bigvee_{n\in\N} a_n \in I</math>.

Eigenschaften

Offenbar ist jeder Verband ein Cusl; in einem Verband definiert man <math>a \le b</math> als <math>a \wedge b = a</math>.

Die allgemeine Definition schließt die für Verbände mit ein.

Siehe auch

• Filter (Mathematik)

Referenzen

<references/>