Hyperbolische Mannigfaltigkeit

In der Mathematik sind hyperbolische Mannigfaltigkeiten Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit konstanter negativer Schnittkrümmung. Sie spielen eine wichtige Rolle in der niedrig-dimensionalen Topologie, insbesondere in Thurstons Geometrisierungsprogramm.

Definition

Eine hyperbolische Mannigfaltigkeit <math>M</math> ist eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung konstant <math>-1</math>. (Eine Riemannsche Metrik mit Schnittkrümmung konstant <math>-1</math> heißt hyperbolische Metrik. Eine hyperbolische Mannigfaltigkeit ist also eine Mannigfaltigkeit mit einer vollständigen hyperbolischen Metrik.)

Äquivalente Definition 1: Eine hyperbolische Mannigfaltigkeit ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, deren universelle Überlagerung isometrisch zum hyperbolischen Raum ist.

Äquivalente Definition 2: Eine hyperbolische Mannigfaltigkeit ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit <math>M</math> der Form <math>\Gamma\backslash\mathbb H^n</math>, wobei <math>\mathbb H^n</math> der hyperbolische Raum und <math>\Gamma\subset \operatorname{Isom}(\mathbb H^n)</math> eine diskrete Untergruppe der Gruppe der Isometrien des hyperbolischen Raumes ist.

Hyperbolische Monodromie

Weil der hyperbolische Raum zusammenziehbar ist, muss die in Definition 2 verwendete Gruppe <math>\Gamma</math> isomorph zur Fundamentalgruppe <math>\pi_1M</math> sein. Die sich aus Definition 2 ergebende Darstellung <math>\rho\colon\pi_1M\to \operatorname{Isom}({\mathbb H}^n)=O_0(n,1)</math> wird auch als Monodromiedarstellung oder hyperbolische Monodromie bezeichnet.

Im Fall orientierbarer Mannigfaltigkeiten bildet die Monodromiedarstellung nach <math>\operatorname{Isom}^+(H^n)=SO_0(n,1)</math> ab.

Literatur

• Benedetti, Riccardo; Petronio, Carlo: Lectures on hyperbolic geometry. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 1992. xiv+330 pp. ISBN 3-540-55534-X
• Kapovich, Michael: Hyperbolic manifolds and discrete groups. Reprint of the 2001 edition. Modern Birkhäuser Classics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2009. xxviii+467 pp. ISBN 978-0-8176-4912-8

Weblinks

• John Milnor: Hyperbolic Geometry: The First 150 Years (PDF; 1,5 MB)