Verallgemeinerter Laplace-Operator

Verallgemeinerte Laplace-Operatoren sind mathematische Objekte, welche in der Differentialgeometrie insbesondere in der Globalen Analysis untersucht werden. Die hier behandelten Operatoren sind Verallgemeinerungen des aus der reellen Analysis bekannten Laplace-Operators. Diese Verallgemeinerungen sind notwendig, um den Laplace-Operator auf riemannschen Mannigfaltigkeiten definieren zu können. Eine wichtige Rolle spielen diese Operatoren in den Beweisen für den Atiyah-Singer-Indexsatz und den Atiyah-Bott-Fixpunktsatz.

Definition

Sei <math>(M,g)</math> eine n-dimensionale riemannsche Mannigfaltigkeit, <math>\pi \colon E \to M</math> ein hermitesches Vektorbündel und <math>H \colon \Gamma^\infty(M,E) \to \Gamma^\infty(M,E)</math> ein geometrischer Differentialoperator zweiter Ordnung. Dieser heißt verallgemeinerter Laplace-Operator, falls für sein Hauptsymbol

<math>\sigma_H^2(x,\xi) = \|\xi\|^2</math>

für <math>x \in M</math> und <math>\xi \in T^*_xM</math> gilt. Die Norm wird durch die riemannsche Metrik induziert und daher ist auch die Definition abhängig von der Metrik.

Beispiele

Im Folgenden werden einige bekannte Beispiele verallgemeinerter Laplace-Operatoren vorgestellt. Dazu sei wieder wie in der Definition <math>(M,g)</math> eine <math>n</math>-dimensionale, kompakte riemannsche Mannigfaltigkeit und <math>\pi \colon E \to M</math> ein Vektorbündel.

Laplace-Beltrami-Operator

Definition

Der Laplace-Beltrami-Operator ist definiert durch

<math>\Delta f := \operatorname{div} (\operatorname{grad} f ).</math>

für zweimal stetig differenzierbare Funktionen <math>f\colon M \to \R</math>. Dabei bezeichnet <math>\operatorname{grad} f</math> den Gradienten der Funktion <math>f</math>, ein Vektorfeld auf <math>M</math>. Die Divergenz eines Vektorfeldes <math>X</math> auf <math>M</math> an der Stelle <math>p \in M</math> ist definiert als die Spur der linearen Abbildung <math>\nabla X\colon T_pM \to T_p M</math>, <math>\xi \mapsto \nabla_\xi X</math>, wobei <math>\nabla</math> der Levi-Civita-Zusammenhang auf <math>M</math> ist. Hat man als Definitionsbereich eine offene Teilmenge des <math>\R^n</math>, betrachtet als Mannigfaltigkeit über sich, so ist der Zusammenhang <math>\nabla</math> die gewöhnliche Richtungsableitung und <math>\operatorname{div}</math> die aus der reellen Analysis bekannte Divergenz eines Vektorfeldes. In diesem Fall erhält man den bekannten Laplace-Operator.

Lokale Koordinaten

Es seien <math>(x_1, \dots, x_n)</math> lokale Koordinaten auf <math>M</math> und <math>\tfrac{\partial}{\partial x_1}, \dots, \tfrac{\partial}{\partial x_n}</math> die zugehörigen Basisfelder des Tangentialbündels. Mit <math>g_{ij}</math> für <math>1 \le i,j \le n</math> seien die Komponenten der riemannschen Metrik <math>g</math> bezüglich dieser Basis bezeichnet.

Die Darstellung des Gradienten <math>\operatorname{grad}</math> in lokalen Koordinaten lautet dann

<math>\operatorname{grad} f = \sum_{i,j} \left(g^{ij}\frac{\partial f}{\partial x_j} \right) \frac{\partial}{\partial x_i}</math>.

Hierbei ist <math>(g^{ij})</math> die inverse Matrix der Matrix <math>(g_{ij})</math>.

Die Darstellung der Divergenz eines Vektorfelds <math>\textstyle X = \sum\limits_i X^i \tfrac{\partial }{\partial x_i}</math> ist

<math>\operatorname{div} X = \frac{1}{\sqrt{\det g}} \sum_i \frac{\partial}{\partial x_i} \left(\sqrt {\det g} X^i\right)</math>,

wobei <math>\det g</math> die Determinante der Matrix <math>(g_{ij})</math> ist.<ref>Torsten Fließbach: Allgemeine Relativitätstheorie. 4. Auflage, Elsevier – Spektrum Akademischer Verlag, 2003, Kapitel 17 Verallgemeinerte Vektoroperationen ISBN 3-8274-1356-7</ref>

Setzt man diese Gleichungen zusammen, so erhält man die lokale Darstellung

<math>\Delta f = \operatorname{div}(\nabla f) = \frac{1}{\sqrt {\det g}} \sum_{i,j}\frac{\partial }{\partial x_i} \left(\sqrt{\det g}\, g^{ij} \frac{\partial f}{\partial x_j} \right)</math>

des Laplace-Beltrami-Operators bezüglich der Metrik <math>g</math>. Setzt man in dieser Formel für den Laplace-Beltrami-Operator die Darstellung des euklidischen metrischen Tensors in Polar-, Zylinder- oder Kugelkoordinaten ein, so erhält man die Darstellung des üblichen Laplace-Operators in diesen Koordinatensystemen.

Hodge-Laplace-Operator

Sei <math>\textstyle \mathcal{A}(M) := \bigoplus_{i=1}^n \mathcal{A}^i(M)</math> der Raum der Differentialformen über <math>M</math> und <math>\mathrm{d} : \mathcal{A}^i(M) \to \mathcal{A}^{i+1}(M)</math> die äußere Ableitung. Die adjungierte äußere Ableitung wird mit <math>\delta</math> bezeichnet. Dann heißt der Operator

<math>\Delta := \mathrm{d} \delta + \delta \mathrm{d} = (\mathrm{d} + \delta)^2</math>

Hodge-Laplace- oder Laplace-de-Rham-Operator und ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator.<ref>H. B. Lawson, M. Michelsohn: Spin Geometry. Princeton University Press, 1989, ISBN 978-0691085425, S. 123</ref> Die Namen stammen daher, dass dieser Operator in der klassischen Hodge-Theorie und dem damit eng verbundenen De-Rham-Komplex Anwendung findet.

Dirac-Laplace-Operator

Ein Dirac-Operator

<math>D : \Gamma^\infty(M,E) \to \Gamma^\infty(M,E)</math>

ist gerade so definiert, dass er durch quadrieren einen verallgemeinerten Laplace-Operator induziert. Das heißt, <math>D^2 : \Gamma^\infty(M,E) \to \Gamma^\infty(M,E)</math> ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator und wird Dirac-Laplace-Operator genannt. Diese Laplace-Operatoren spielen eine wichtige Rolle im Beweis des Indexsatzes.

Bochner-Laplace-Operator

Definition

Der Bochner-Laplace-Operator wird mit dem metrischen Zusammenhang <math>\nabla^E \colon \Gamma(M,E) \to \Gamma(T^*M \otimes E)</math> auf dem Vektorbündel <math>E</math> definiert. Sei außerdem <math>\nabla^{T^*M} \colon \Gamma(M,T^*M) \to \Gamma(T^*M \otimes T^*M)</math> der Levi-Civita-Zusammenhang und <math>\nabla^{T^*M \otimes E}</math> der durch <math>\nabla^E</math> und <math>\nabla^{T^*M}</math> induzierte Zusammenhang auf dem Bündel <math>T^*M \otimes E</math> dann ist der Bochner-Laplace-Operator durch

<math>

\Delta^E \cdot := - \operatorname{Tr}_g\left(\nabla^{T^*M \otimes E} \nabla^E \cdot \right)\,. </math>

definiert. Die Abbildung <math>\operatorname{Tr}_g</math> ist dabei die Tensorverjüngung bezüglich der riemannschen Metrik.<ref name="Getzler63">Nicole Berline, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat kernels and Dirac operators (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 298). Berlin u. a. Springer 1992, ISBN 0-387-53340-0, S. 63–64.</ref>

Eine äquivalente Definition des Bochner-Laplace-Operators ist

<math>\Delta^E := - (\nabla^E)^* \nabla^E.</math>

Dabei ist <math>(\nabla^E)^*</math> der adjungierte Operator bezüglich der riemannschen Metrik <math>g</math>.

Lokale Darstellung

Wählt man als Zusammenhang den Levi-Civita-Zusammenhang so erhält man in lokalen Koordinaten mit dem orthonormalen Rahmen <math>e_1 , \ldots , e_n</math> die Darstellung<ref name="Getzler63" />

<math>

\Delta^E = - \sum_{i = 1}^n \left( \nabla^E_{e_i} \nabla^E_{e_i} - \nabla^E_{\nabla_{e_i}e_i}\right)\,. </math>

Eigenschaften

• Ein verallgemeinerter Laplace-Operator ist ein geometrischer Differentialoperator der Ordnung zwei.
• Da ein verallgemeinerter Laplace-Operator, wie in der Definition gefordert, das Hauptsymbol <math>|\xi|^2</math> hat, ist er ein elliptischer Differentialoperator.
• Jeder Differentialoperator zweiter Ordnung mit positiv definitem Hauptsymbol ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator bezüglich einer geeigneten riemannschen Metrik auf der Mannigfaltigkeit und einer geeigneten hermiteschen Metrik auf dem Vektorbündel.
• Sind <math>\phi, \psi \in \Gamma^{\infty}(M,E)</math> glatte Schnitte, so gilt

<math>g(\Delta^E \phi,\psi) = g(\nabla^E\phi, \nabla^E \psi)</math>.

• Der Operator <math>\Delta^E</math> ist nichtnegativ und wesentlich selbstadjungiert bezüglich <math>L^2(X,E)</math>. Die Definition des <math>L^2</math>-Raums auf Mannigfaltigkeiten kann in dem Artikel über Dichtebündel nachgelesen werden.
• Jeder verallgemeinerte Laplace-Operator <math>H</math> bestimmt eindeutig einen Zusammenhang <math>\nabla^E</math> auf dem Vektorbündel <math>E</math> und einen Schnitt <math>B \in \Gamma^\infty(M,\operatorname{End}(E))</math>, so dass <math>H = \Delta^E - B</math> gilt, wobei <math>\Delta^E</math> der Bochner-Laplace-Operator ist. Jeder verallgemeinerte Laplace-Operator stimmt also mit dem Bochner-Laplace-Operator bis auf eine Störung der Ordnung Null überein. Eine solche Formel wird Weitzenböck-Formel genannt.

Quellen

• Isaac Chavel: Eigenvalues in Riemannian Geometry (= Pure and Applied Mathematics 115). Academic Press, Orlando FL u. a. 1984, ISBN 0-12-170640-0.
• Liviu I. Nicolaescu: Lectures on the geometry of manifolds. 2nd edition. World Scientific Pub Co., Singapore u. a. 2007, ISBN 978-981-270853-3.
• Martin Schottenloher: Geometrie und Symmetrie in der Physik. Leitmotiv der Mathematischen Physik (= Vieweg-Lehrbuch Mathematische Physik). Vieweg, Braunschweig u. a. 1995, ISBN 3-528-06565-6.

Siehe auch

• Vektorieller Laplace-Operator

Einzelnachweise

<references />