Hillsche Gleichungen

Vorlage:Hinweisbaustein Die hillschen Gleichungen (nach George William Hill (1838–1914)) beschreiben Bahnänderungen eines Satelliten innerhalb des mitrotierenden Bezugssystems. Mit ihnen lässt sich berechnen, welchen weiteren Verlauf (Bahn und Geschwindigkeit) ein Satellit nimmt, wenn man seine Geschwindigkeit verändert.

Sie sind die Lösung des gekoppelten Gleichungssystems:

• <math>\ddot x + 2\omega \dot z = b_x </math>
• <math>\ddot y + \omega ^2 y = b_y </math>
• <math>\ddot z - 2\omega \dot x - 3\omega ^2 z = b_z </math>

Bahngleichungen

• <math>x(\omega , t) = \left( {x_0 - 2\fracVorlage:\dot z 0{\omega }} \right) + 2\fracVorlage:\dot z 0{\omega }\cos \omega t + \left( {6z_0 + 4\fracVorlage:\dot x 0{\omega }} \right)\sin \omega t - \left( {6z_0 + 3\fracVorlage:\dot x 0{\omega }} \right)\omega t</math>

• <math>z(\omega , t) = \left( {4z_0 + 2\fracVorlage:\dot x 0{\omega }} \right) + \fracVorlage:\dot z 0{\omega }\sin \omega t - \left( {3z_0 + 2\fracVorlage:\dot x 0{\omega }} \right)\cos \omega t</math>

Geschwindigkeitsgleichungen

• <math>\dot x(\omega , t) = - 3\dot x_0 - 6\omega z_0 - 2\dot z_0 \sin \omega t + \left( {6\omega z_0 + 4\dot x_0 } \right)\cos \omega t</math>

• <math>\dot z(\omega , t) = \left( {3\omega z_0 + 2\dot x_0 } \right)\sin \omega t + \dot z_0 \cos \omega t</math>

Beispiele

Radiales Manöver

Datei:RadialesBahnmanöver.jpg

Bahnänderung eines Satelliten bei radialer Geschwindigkeitsänderung

Ein radiales Manöver führt zu einer Ellipse mit dem Verhältnis 1:2.

Anfangsbedingungen:
Position: <math>(x; z)=(0; 0)</math>
Geschwindigkeit: <math>(\dot x;\dot z)=(0; \Delta v)</math>

Bahngleichungen:

• <math>x = 2\fracVorlage:\Delta v{\omega }\left( {\cos \omega t - 1} \right)</math>
• <math>z = \fracVorlage:\Delta v{\omega }\sin \omega t</math>

Tangentiales Manöver

Datei:TangentialesBahnmanöver.jpg

Bahnänderung eines Satelliten bei tangentialer Geschwindigkeitsänderung

Ein tangentiales Manöver führt zu einer Zykloidenförmigen Bahn.

Anfangsbedingungen:
Position: <math>(x; z)=(0; 0)</math>
Geschwindigkeit: <math>(\dot x;\dot z)=(\Delta v; 0)</math>

Bahngleichungen:

• <math>x = 4\fracVorlage:\Delta v{\omega }\sin \omega t - 3\Delta v \cdot t</math>
• <math>z = 2\fracVorlage:\Delta v{\omega }\left( {1 - \cos \omega t} \right)</math>
• <math>\dot x_1 = - 3\dot x_0 + 4\dot x_0 \cos \omega t</math>

Nach einem halben Umlauf bewegt sich der Satellit im mitrotierenden Bezugssystem mit siebenfachen <math>\Delta v</math> in die Gegenrichtung:

• <math>\dot x_1 \left( {t = \frac{T}{2}} \right) = - 3\Delta v - 4\Delta v = - 7\Delta v</math>

Hohmannmanöver

Datei:Hohmannmanöver.jpg

Durchführung des Hohmannübergang mit zwei Manövern

Beim Hohmannübergang werden zwei tangentiale Manöver ausgeführt.

Siehe auch: Hillsche Differentialgleichung (Dreikörperproblem)