Hillsche Differentialgleichung

{{#if: behandelt eine gewöhnliche Differentialgleichung die nach George William Hill benannt ist. Für eine nach ihm benannte Differentialgleichung aus der Himmelsmechanik siehe Hillsche Differentialgleichung (Dreikörperproblem).

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 | {{#ifeq: 0 | 0 |}}

}} Die Hillsche Differentialgleichung ist eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung der Form

<math>\ y(x)+ q(x) y(x)=0 </math>

wobei <math>q(x)</math> eine periodische Funktion ist. Sie ist nach George William Hill benannt und insbesondere für Probleme aus der Schwingungslehre von Bedeutung.

Sie hat für praktisch interessierende Fälle Lösungen der Form

<math> y(x) = C_1e^{\mu_1 x}y_1 (x) + C_2e^{\mu_2 x}y_2 (x) </math>

mit <math>\mu_1 </math> und <math>\mu_2 </math> als so genannte charakteristische Exponenten.

Spezialfälle

Für die Parameterfunktion

<math> q(x) = q_o + \Delta q \cdot \cos(x) </math>

geht die Hillsche Differentialgleichung in eine Mathieusche Differentialgleichung über.

Für die Parameterfunktion

<math> q(x) = q_o + \Delta q \cdot \sgn (\cos(x)) </math>

geht die Hillsche Differentialgleichung in eine Meißnersche Differentialgleichung über.<ref>Kurt Magnus: Schwingungen: Physikalische Grundlagen und mathematische Behandlung von Schwingungen. 9., überarb. Auflage, Springer+Vieweg, 2013, Kapitel 4.3, ISBN 978-3-8348-2574-2.</ref>

Siehe auch

• Parametrischer Oszillator
• Sturm-Liouville-Problem

Einzelnachweise

<references />