Hilbertsche Modulfläche

In der Mathematik sind Hilbertsche Modulflächen bestimmte komplexe algebraische Flächen, die man als Quotienten des Produkts zweier hyperbolischer Ebenen erhält.

Konstruktion

Sei <math>F</math> ein reell quadratischer Zahlkörper, also <math>F=\mathbb Q(\sqrt{a})</math> für eine quadratfreie natürliche Zahl <math>a</math>.

Sei <math>{\mathcal{O}}_F\subset F</math> der Ganzheitsring von <math>F</math>, also <math>{\mathcal{O}}_F=\mathbb Z\left[x_a\right]</math> mit <math>x_a=\sqrt{a}</math> falls <math>a</math> kongruent 2 oder 3 mod 4 und <math>x_a=\frac{1+\sqrt{a}}{2}</math> falls <math>a</math> kongruent 1 mod 4.

Seien <math>\left\{\sigma_+,\sigma_-:{\mathcal{O}}_F\rightarrow \mathbb R\right\}</math> die Einbettungen von <math>{\mathcal{O}}_F</math>, also

<math>\sigma_\pm(m+nx_a)=m\pm nx_a</math> für alle <math>m,n\in\mathbb Z</math>.

Die Abbildungen <math>\begin{pmatrix}

   a_{11} & a_{12}  \\ 
   a_{21} & a_{22}  
 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 
   \sigma_\pm(a_{11}) & \sigma_\pm(a_{12})  \\ 
   \sigma_\pm(a_{21}) & \sigma_\pm(a_{22})  
 \end{pmatrix} </math> definieren Einbettungen <math>\sigma_\pm:SL(2,{\mathcal{O}}_F)\rightarrow SL(2,\mathbb R)</math>.

Die Hilbertsche Modulgruppe ist das Bild von <math>SL(2,{\mathcal{O}}_F)</math> unter der Einbettung

<math>(\sigma_+,\sigma_-):SL(2,{\mathcal{O}}_F)\rightarrow SL(2,\mathbb R)\times SL(2,\mathbb R)</math>.

Die Gruppe SL(2,R) wirkt auf der hyperbolischen Ebene durch gebrochen-lineare Transformationen. Mittels der Einbettung nach <math>SL(2,\mathbb R)\times SL(2,\mathbb R)</math> wirkt <math>SL(2,{\mathcal{O}}_F)</math> dann auf <math>\mathbb H^2\times \mathbb H^2</math>, dem Produkt zweier hyperbolischer Ebenen.

Wenn <math>\Gamma\subset SL(2,{\mathcal{O}}_F)</math> eine Untergruppe von endlichem Index ist, dann heißt der Quotientenraum <math>\Gamma\backslash (\mathbb H^2\times \mathbb H^2)</math> Hilbertsche Modulfläche und <math>\Gamma</math> Hilbertsche Modulgruppe. Hilbertsche Modulgruppen sind Beispiele arithmetischer Gruppen.

Falls eine Hilbertsche Modulgruppe <math>\Gamma\subset SL(2,{\mathcal{O}}_F)</math> torsionsfrei ist, dann ist die Hilbertsche Modulfläche <math>\Gamma\backslash (\mathbb H^2\times \mathbb H^2)</math> ein lokal symmetrischer Raum, andernfalls hat die Hilbertsche Modulfläche Singularitäten.

Algebraische Flächen

Eine Klassifikation Hilbertscher Modulflächen vom Standpunkt der Algebraischen Geometrie geben Friedrich Hirzebruch und Don Zagier.<ref>Hirzebruch, Zagier: Classification of Hilbert modular surfaces, in: W. L. Baily, T. Shioda (Hrsg.): Complex analysis and algebraic geometry, Cambridge University Press, 1977, S. 43–77, Online. (PDF; 1,4 MB)</ref>

Zahlentheorie

Die Geometrie der Hilbertschen Modulfläche kodiert Eigenschaften des Körpers <math>F</math>. Zum Beispiel ist die Anzahl der Enden der Hilbertschen Modulfläche gleich der Klassenzahl von <math>F</math>.<ref>Kapitel III.2.7. in: Armand Borel, Lizhen Ji: Compactifications of symmetric and locally symmetric spaces. Mathematics: Theory & Applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2006. ISBN 978-0-8176-3247-2</ref> Das Volumen der Hilbertschen Modulfläche ist <math>2\zeta_F(-1)</math>, wobei <math>\zeta_F</math> die Dedekindsche Zeta-Funktion des Körpers <math>F</math> bezeichnet.<ref>Gerard van der Geer: Hilbert modular surfaces. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), 16. Springer-Verlag, Berlin, 1988. ISBN 3-540-17601-2</ref>

Quellen