Henselsches Lemma

Das henselsche Lemma (nach Kurt Hensel) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra.

Es wurde schon 1846 vor Hensel von Theodor Schönemann bewiesen.<ref>David A. Cox: Why Eisenstein proved the Eisenstein Criterion and why Schönemann discovered it first. In: American Mathematical Monthly. Band 118, 2011, S. 3–21.</ref> Das henselsche Lemma ist (im Wesentlichen) das Newtonverfahren angewendet auf <math>\Q_p</math><ref>F. Lemmermeyer: Elliptische Kurven 1. </ref>.

Formulierung

Es sei <math>K</math> ein vollständiger, nicht-archimedisch bewerteter Körper mit Bewertungsring <math>A</math> und Restklassenkörper <math>k</math>. Ist nun <math>f\in A[X]</math> ein Polynom, dessen Reduktion <math>\bar f\in k[X]</math> das Produkt zweier teilerfremder Polynome <math>\bar g,\bar h\in k[X]</math> ist, so gibt es Polynome <math>g,h\in A[X]</math>, so dass <math>f=gh</math> gilt und <math>\bar g</math> bzw. <math>\bar h</math> die Reduktion von <math>g</math> bzw. <math>h</math> ist.

Beispiele

Mit dem henselschen Lemma kann man zeigen, dass der Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen die <math>(p-1)</math>-ten Einheitswurzeln enthält:

Für eine Primzahl <math>p</math> sei <math>K=\Q_p</math> der Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen, <math>A=\Z_p</math> und <math>k=\mathbb F_p</math>. Das Polynom <math>f(X):=X^{p-1}-1</math> zerfällt über <math>k</math> in Linearfaktoren

<math>\bar f(X)=X^{p-1}-\bar1=(X-\bar1)(X-\bar2)\cdots(X-\overline{p-1})</math>.

Es gibt also Polynome <math>g_1,\ldots,g_{p-1}\in\Z_p[X]</math>, so dass

<math>f=g_1\cdots g_{p-1},\qquad g_i(X)\equiv X-i \pmod p</math>

gilt. Die Polynome <math>g_i</math> haben notwendigerweise die Form <math>g(X)=aX+b</math> mit <math>a\in 1+p\mathbb Z_p</math>, man kann also <math>a=1</math> annehmen, d. h. es gibt <math>\zeta_1,\ldots,\zeta_{p-1}\in\Z_p</math>, so dass

<math>X^{p-1}-1=(X-\zeta_1)\cdots(X-\zeta_{p-1})</math>

gilt. Die <math>\zeta_1,\ldots,\zeta_{p-1}</math> sind die <math>(p-1)</math>-ten Einheitswurzeln und sie können immer so angeordnet werden, dass <math>\zeta_i \equiv i \pmod p</math>.

Ist die Primzahl <math>p \equiv 1 \pmod 4</math>, dann gibt es nach dem Obigen ein <math>\eta \in \Q_p</math> mit <math>\eta^2 = -1</math>.

Denn unter den <math>(p-1)</math>-ten Einheitswurzeln gibt es eine, sie sei mit <math>\zeta</math> bezeichnet, die die zyklische Gruppe der <math>(p-1)</math>-ten Einheitswurzeln erzeugt. Mit <math>\eta := \zeta^{\tfrac{p-1}4}</math> ergibt sich <math>\eta^2 = -1</math>.

Im Körper <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen ist 0 durch eine nicht-triviale Summe von Quadraten darstellbar. Damit ist −1 durch eine Summe von Quadraten darstellbar, und <math>\Q_p</math> kann nicht angeordnet werden.

Zwei Fälle sind zu unterscheiden:

<math>p=2</math>: Hier ist bei Quadratwurzeln wegen der fehlenden Teilerfremdheit der Polynome über <math>\mathbb F_2</math> das henselsche Lemma nicht direkt anwendbar. Es lässt sich aber mit der Vorgehensweise im Beweis desselben zeigen, dass <math>\sqrt{-7} \in\Q_2</math>. Sei nämlich <math>m_3 := 1 \in \Z</math> mit <math>{m_3}^2 \equiv -7 \pmod {2^3}</math>. Für <math>i=3,4,... </math> sei nun <math>m_i \in \Z</math> derart, dass <math>{m_i}^2 \equiv -7 \pmod {2^i}</math>. Da <math>{m_i}^2+7</math> durch 2 teilbar ist, können wir
<math>m_{i+1} :\equiv m_i - \frac{{m_i}^2+7}{2 m_i} \pmod {2^{i+1}}</math>
bilden. Dann ist
<math>m_{i+1}^2 \equiv {m_i}^2-({m_i}^2+7) \equiv -7 \pmod {2^{i+1}}</math>.
Somit gibt es eine in <math>\Q_2</math> konvergente Folge <math>m := \lim_{i\to\infty} m_i</math> mit <math>m^2=-7</math>. Die Summe von 5 Quadraten <math>1^2+1^2+1^2+2^2+m^2 = 7+m^2 = 7-7 = 0</math> verschwindet.
<math>p>2</math>: Mit <math>m_2 := 1+\tfrac{p-1}2 p</math> ist wegen
<math>1-p \equiv 1+(p-1)p + \left(\tfrac{p-1}2 p\right)^2 = \left(1+\tfrac{p-1}2 p\right)^2 = {m_2}^2\pmod {p^2}</math>
die Zahl <math>1-p</math> quadratischer Rest in <math>p^2 \Z_p .</math> Die Folge <math>\{m_i\}</math> lässt sich mit der Vorgehensweise im Beweis des henselschen Lemmas zu einem Element <math>m := \lim_{i\to\infty} m_i \in \Z_p </math> entwickeln, für das <math>m^2 = 1-p</math> gilt. Man nehme nur
<math>m_{i+1} :\equiv m_i - ({m_i}^2+1-p) \, \tfrac{p-1}2 \pmod {p^{i+1}}</math>
Im Ergebnis verschwindet die Summe der <math>p </math> Quadrate <math>(p-1)\times 1^2 + m^2 = (p-1) + (1-p) = 0 .</math>

Es seien <math>K,A,k</math> wie oben, aber <math>f(X)=X^p-1</math>. Dann ist <math>\bar f(X)=X^p-\bar1=(X-\bar1)^p</math> mit Faktoren <math>X-\bar1</math>, die alle gleich, also nicht teilerfremd sind. Das henselsche Lemma ist nicht anwendbar.

Henselscher Ring

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Die Voraussetzung, dass <math>K</math> vollständig ist, ist eigentlich stärker als es für den Beweis des henselschen Lemmas erforderlich wäre. Allgemein nennt man bewertete Körper <math>K</math> beziehungsweise Ringe <math>A</math>, in denen das henselsche Lemma in der oben angegebenen Form gilt, henselsch.

Hebungsbaum

Ein Hebungsbaum ist ein Hilfsmittel, um das Verhalten eines Polynoms <math>f(X)\in \Z[X]</math>, genauer das Verhalten der Nullstellen modulo <math>p^k</math> des Polynoms, zu beschreiben. Anhand eines Hebungsbaumes kann man p-adische Zahlen leichter untersuchen und damit auf das Verhalten des Polynoms schließen.

Der Hebungsbaum hat in seiner k-ten Ebene die Nullstellen modulo <math>p^k</math> und diese werden mit ihren Hebungen modulo <math>p^{k+1}</math> verbunden, falls diese ebenfalls wieder Nullstellen sind.

Nullstellen und ihre Hebungen

Sei <math>f(X)\in \Z[X]</math> ein rational irreduzibles Polynom. Sei p prim. Sei <math>k\geq 1</math> die Ebene des Hebungsbaumes.

Sei <math>a\in \Z</math>. Ist

<math>f(a)\equiv 0\mod p^k</math>,

so sagen wir, <math>a</math> ist eine Nullstelle von f(X) in <math> \Z/p^k</math> oder modulo <math> p^k</math>.

Sei <math>a\in \Z</math> eine Nullstelle von <math>f(X)</math> modulo <math>p^k</math>. Sei <math>l\geq1</math> . Ist <math>b\in \Z</math> eine Nullstelle von f(X) modulo <math>p^{k+l}</math> und ist

<math>b \equiv a \mod p^k</math> ,

dann sagen wir, dass <math> b </math> eine Nullstelle modulo <math>p^{k+l}</math> ist, die die Nullstelle a modulo <math>p^k</math> hebt.

Beschreibung des Hebungsbaumes

In einem Hebungsbaum werden alle Nullstellen eines Polynoms in <math>\Z/p^k</math> eingetragen, wobei <math>k\in \Z</math> die jeweilige Ebene des Hebungsbaumes ist.

Die erste Ebene des Baumes befindet sich ganz unten. Mit wachsendem <math>k</math> wächst der Baum von unten nach oben und es werden alle Nullstellen in der jeweiligen Ebene eingetragen.

In der untersten und damit ersten Ebene (<math>k=1</math>) werden alle Nullstellen des Polynoms in <math>\Z/p</math> eingetragen. Die Nullstellen nehmen Werte in dem Intervall <math>[0,p-1]</math> an.

In der darüberliegenden zweiten Ebene (<math>k=2</math>) werden alle Nullstellen des Polynoms in <math>\Z/p^2</math> eingetragen. Die Nullstellen des Polynoms nehmen Werte in dem Intervall <math>[0,p^2-1]</math> an. Reduziert eine solche Nullstelle in der zweiten Ebene zu einer Nullstelle in der darunterliegenden ersten Ebene in <math>\Z/p</math>, so werden diese beiden Nullstellen mit einer Linie verbunden.

In der nächsthöhergelegenen Ebene (<math>k=3</math>) werden alle Nullstellen des Polynoms in <math>\Z/p^3</math> eingetragen. Die Nullstellen des Polynoms nehmen Werte in dem Intervall <math>[0,p^3-1]</math> an. Auch hier gilt: Reduziert eine Nullstelle in der dritten Ebene zu einer Nullstelle in der darunterliegenden zweiten Ebene in <math>\Z/p^2</math>, so werden diese Nullstellen mit einer Linie verbunden.

Dies gilt für alle folgenden Ebenen <math>k\in \Z</math>.

Beispiel

Sei das Polynom

gegeben. Sei <math>p=5</math> prim.

Wir erhalten folgenden Hebungsbaum:

Datei:Hebungsbaum.jpg

Beispiel zu dem Polynom <math>x^4-3x^3-3x^2+x-1=0</math>

In der ersten Ebene (<math>k=1</math>) befinden sich die Nullstellen 1 und 3 in dem Intervall <math>[0,4]</math>. In der zweiten Ebene (<math>k=2</math>) sind die Nullstellen 3, 8, 13, 18 und 23 in dem Intervall <math>[0,24]</math> vorhanden. In der darauffolgenden dritten Ebene (<math>k=3</math>) sehen wir die Nullstellen 8, 33, 58, 83 und 108 in dem Intervall <math>[0,124]</math>. Für dieses Polynom gilt, dass alle Nullstellen in der zweiten Ebene zu der Nullstelle <math>a=3</math> in der ersten Ebene reduziert werden. Sie werden mit jeweils einer Linie verbunden. Man sagt kurz: Die Nullstelle <math>a=3</math> aus der ersten Ebene wird in die zweite Ebene gehoben.

Analog für die dritte Ebene.

Literatur

Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992, ISBN 3-540-54273-6.
David Eisenbud: Commutative algebra. (= Graduate Texts in Mathematics. 150). Springer-Verlag, Berlin / New York 1995, ISBN 3-540-94268-8.
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Helmut Koch: Zahlentheorie – Algebraische Zahlen und Funktionen. Vieweg, 1997.
Matthias Künzer: Heben von Nullstellen. Universität Stuttgart, 2011.

Einzelnachweise