Hausdorff-Maß

Zur Bestimmung des Flächeninhalts einer <math>m</math>-dimensionalen Fläche im <math>n</math>-dimensionalen Raum <math>\R^n</math> (mit <math>m < n</math>) gibt es in der Mathematik diverse Maße, die für alle Teilmengen des <math>\R^n</math> definiert sind und auf den „anständigen“ (nicht entarteten) <math>m</math>-dimensionalen Flächen deren heuristischen Flächeninhalt ergeben. (Zu den „anständigen“ Flächen gehören insbesondere die Untermannigfaltigkeiten des <math>\R^n</math>.)

Das bekannteste dieser Maße ist das <math>m</math>-dimensionale Hausdorff-Maß <math>\mathcal{H}^m</math>, benannt nach Felix Hausdorff; zur Veranschaulichung der Definition soll zunächst jedoch das <math>m</math>-dimensionale sphärische Maß <math>\mathcal{S}^m</math> erläutert werden.

Definition des sphärischen Maßes

Zu einer Teilmenge <math>A</math> des <math>\R^n</math> betrachtet man die Größen

<math>\mathcal{S}^m_\varepsilon(A)=\inf\left\{\sum_{i=1}^\infty \alpha(m)\left(\frac{1}{2}\,\operatorname{diam}(B_i)\right)^m\right|\left.A\subset\bigcup_{i=1}^\infty B_i;\;B_i\text{ Kugel im }\R^n;\; \operatorname{diam}(B_i)<\varepsilon\right\}</math>

für <math>\varepsilon>0</math>, wobei das Infimum über alle Überdeckungen <math>(B_i)_{i\in\N}</math> von <math>A</math> durch abzählbar viele <math>n</math>-dimensionale Kugeln <math>B_1,B_2,</math>… im <math>\R^n</math> mit Durchmessern (Diametern) <math>\operatorname{diam}(B_i)<\varepsilon</math> gebildet wird. Hierbei ist <math>\alpha(m)</math> das Volumen der <math>m</math>-dimensionalen Einheitskugel (Kugel mit Radius 1) im <math>\R^m</math>, gleichbedeutend mit dem <math>m</math>-dimensionalen Flächeninhalt des <math>m</math>-dimensionalen Einheitskreises im <math>\R^n</math>. Der Formfaktor <math>\alpha(m)</math> sorgt für die richtige „Normierung“ des resultierenden Flächenmaßes. Die Summanden <math>\alpha(m)(\operatorname{diam}(B_i)/2)^m</math> sind gerade die <math>m</math>-dimensionalen Flächeninhalte der Schnittmengen der Kugeln <math>B_i</math> mit durch deren Mittelpunkt verlaufenden <math>m</math>-dimensionalen Ebenen im <math>\R^n</math>.

Das <math>m</math>-dimensionale sphärische Maß von <math>A</math> wird dann, vermöge zunehmender Kleinheit der Kugeln, definiert durch

<math>\mathcal{S}^m(A)=\lim_{\varepsilon\to0}\mathcal{S}^m_\varepsilon(A).</math>

Die Verfeinerung der Kugelüberdeckungen durch gegen 0 gehende Durchmesser bewirkt eine zunehmende Annäherung der <math>m</math>-dimensionalen Äquatorialflächen der Kugeln an die Ausgangsfläche <math>A</math>.

Definition des Hausdorff-Maßes

Zur Definition des Hausdorff-Maßes <math>\mathcal{H}^m</math> gelangt man, wenn statt der Kugeln alle Teilmengen des <math>\R^n</math> bei den Überdeckungen zugelassen werden. Der Durchmesser von <math>B\subset\R^m</math> ist definiert durch

<math>\operatorname{diam}(B)=\sup\,\left\{|x-y|\,:\,x,y\in B\right\}</math>

für <math>B\ne\O</math> und <math>\operatorname{diam}(\O)=0</math>, und man setzt entsprechend für <math> A \subset \R^n</math>

<math>\mathcal{H}^m_\varepsilon(A)=\inf\left\{\sum_{i=1}^\infty \alpha(m)\left(\frac{1}{2}\operatorname{diam}(B_i)\right)^m\right|\left.A\subset\bigcup_{i=1}^\infty B_i;\;B_i\subset\R^n;\; \operatorname{diam}(B_i)<\varepsilon\right\},</math>

wobei hier das Infimum gebildet wird über alle Überdeckungen <math>(B_i)_{i\in\N}</math> von <math>A</math> durch abzählbar viele (beliebige) Teilmengen <math>B_1,B_2,</math>… des <math>\R^n</math> mit <math>\operatorname{diam}(B_i)<\varepsilon</math>. Schließlich definiert man

<math>\mathcal{H}^m(A)=\lim_{\varepsilon\to0}\mathcal{H}^m_\varepsilon(A)</math>

das metrische äußere Maß <math>\mathcal{H}^m </math>, das auch äußeres Hausdorff-Maß genannt wird. Die Einschränkung des Definitionsbereiches auf Carathéodory-messbare Mengen liefert das Maß <math>\mathcal{H}^m </math>.

Die Ausdrücke <math>\mathcal{S}^m_\varepsilon</math> und <math>\mathcal{H}^m_\varepsilon</math> sind selbst äußere Maße und haben durchaus bei gewissen Mengen verschiedene Werte – der Unterschied verschwindet in einigen „pathologischen“ Fällen auch nicht beim Grenzübergang <math>\varepsilon</math> gegen 0 –, jedoch liefern die beiden Maße <math>\mathcal{S}^m</math> und <math>\mathcal{H}^m</math> bei den rektifizierbaren (den „anständigen“) <math>m</math>-dimensionalen Mengen denselben Wert. Allgemein gilt die Ungleichung

<math>\mathcal{H}^m\le \mathcal{S}^m\le[2n/(n+1)]^{m/2}\mathcal{H}^m.</math>

Zusammenhang mit der Flächenformel

Zur expliziten Berechnung des Hausdorff-Maßes einer parametrisierten Fläche <math>A=f(G)</math> mit einem Gebiet <math>G\subset\mathbb R^m</math> und einer injektiven differenzierbaren Funktion <math>f \colon G\to\mathbb R^n</math> findet die Flächenformel Anwendung:

<math>\mathcal{H}^m(A)=\int_G\sqrt{\det(Df\,^tDf)}\,\mathrm{d}\mathcal{L}^m.</math>

Dabei ist <math>\sqrt{\det(Df\,^tDf)}</math> die verallgemeinerte Jacobi-Determinante (Gramsche Determinante) von <math>f</math>, und <math>\mathcal{L}^m</math> bezeichnet das <math>m</math>-dimensionale Lebesgue-Maß (Volumenmaß) im <math>\R^m</math>.

Verallgemeinerungen

Analog verwendet man für „nicht-ganzzahlige Dimensionen“ <math>m</math> die obigen Definitionen von <math>\mathcal{S}^m</math> und <math>\mathcal{H}^m</math> mit <math>\alpha(m)=\Gamma(1/2)^m/\Gamma(1+m/2)</math>, wobei <math>\Gamma</math> die Gamma-Funktion bezeichnet. Die Hausdorff-Dimension einer Teilmenge <math>A</math> des <math>\R^n</math> ist dann diejenige (eindeutig bestimmte) Zahl <math>m</math> mit <math>\mathcal{H}^s(A)=\infty</math> für alle <math>s < m</math> und <math>\mathcal{H}^s(A)=0</math> für alle <math>s > m</math>. Wegen der oben genannten Ungleichung spielt der Unterschied zwischen <math>\mathcal{H}^m</math> und <math>\mathcal{S}^m</math> bei der Bestimmung der Hausdorff-Dimension keine Rolle.
In den letzten Jahrzehnten kamen Fraktale in den Blickpunkt von populärwissenschaftlichen Medien. Fraktale sind Teilmengen des <math>\R^n</math> mit gebrochener („fraktaler“) Hausdorff-Dimension; in der Öffentlichkeit werden Fraktale überwiegend als Mengen wahrgenommen, die sich neben ihrer fraktalen Dimension noch durch gewisse Selbstähnlichkeiten auszeichnen.
Die Definition des <math>m</math>-dimensionalen Hausdorff-Maßes bleibt ohne wesentliche Veränderungen gültig in jedem metrischen Raum anstelle des <math>\R^n</math>; das Gleiche gilt für das <math>m</math>-dimensionale sphärische Maß. Dafür wird nur die Betragsfunktion in der Definition des Durchmessers durch die zugrundeliegende Metrik <math>d</math> ersetzt. Das heißt, aus <math>|x-y|</math> wird <math>d(x,y)</math>.

Literatur

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