Hartley-Transformation
Die Hartley-Transformation, abgekürzt HT, ist in der Funktionalanalysis – einem Teilgebiet der Mathematik – eine lineare Integraltransformation mit Bezug zur Fourier-Transformation und wie diese eine Frequenztransformation. Im Gegensatz zur komplexen Fourier-Transformation ist die Hartley-Transformation eine reelle Transformation. Sie ist nach Ralph Hartley benannt, welcher sie 1942 vorstellte.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Die Hartley-Transformation existiert auch in diskreter Form, der diskreten Hartley-Transformation, abgekürzt DHT, welche in der digitalen Signalverarbeitung und der Bildverarbeitung Anwendung findet. Diese Form wurde 1994 von R.N.Bracewell veröffentlicht.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Definition
Die Hartley-Transformation einer Funktion f(t) ist definiert als:
- <math> H(\omega) = \mathcal{H}(f)(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(t) \, \mbox{cas}(\omega t) \mathrm{d}t </math>
mit der Kreisfrequenz ω und der Abkürzung:
- <math>\mbox{cas}(t) = \cos(t) + \sin(t) = \sqrt{2} \sin (t+\pi /4) = \sqrt{2} \cos (t-\pi /4)</math>
welche als „Hartley-Kern“ bezeichnet wird.
In der Literatur existieren auch betreffend den Faktor <math>\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}</math> abweichende Definitionen, welche diesen Faktor auf 1 normieren und bei der inversen Hartley-Transformation der Faktor <math>\tfrac{1}{2\pi}</math> auftritt.
Inverse Transformation
Die Hartley-Transformation ist nach obiger Definition zu sich selbst invers, womit sie eine involutive Transformation ist:
- <math>f = \mathcal{H}(\mathcal{H}(f))</math>
Bezug zur Fourier-Transformation
- <math>F(\omega) = \mathcal{F}(f)(\omega)</math>
weicht durch ihren komplexen Kern:
- <math>\exp\left({-\mathrm{i}\omega t}\right) = \cos(\omega t) - \mathrm{i} \sin(\omega t)</math>
mit der imaginären Einheit <math>\mathrm{i}</math> von dem rein reellen Kern <math>\operatorname{cas}(\omega t)</math> der Hartley-Transformation ab. Bei entsprechender Wahl der Normalisierungsfaktoren kann die Fourier-Transformation direkt aus der Hartley-Transformation berechnet werden:
- <math>F(\omega) = {\color{darkred} \sqrt{2 \pi}} \left( \frac{H(\omega) + H(-\omega)}{2} - \mathrm{i} \frac{H(\omega) - H(-\omega)}{2} \right)</math>
Der rote Korrekturfaktor <math>\sqrt{2 \pi}</math> verschwindet hier bei Verwendung der oben genannten, alternativen Definition ohne <math>\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}</math>
Der Real- bzw. Imaginärteil der Fourier-Transformation wird dabei durch die geraden und ungeraden Anteile der Hartley-Transformation gebildet.
Beziehungen des Hartley-Kerns
Für den „Hartley-Kern“ <math>\mbox{cas}(t)</math> lassen sich folgende Beziehungen aus den trigonometrischen Funktionen ableiten:
Das Additionstheorem:
- <math> 2 \mbox{cas} (a+b) = \mbox{cas}(a) \mbox{cas}(b) + \mbox{cas}(-a) \mbox{cas}(b) + \mbox{cas}(a) \mbox{cas}(-b) - \mbox{cas}(-a) \mbox{cas}(-b) \, </math>
und
- <math>\mbox{cas} (a+b) = \cos (a) \mbox{cas} (b) + \sin (a) \mbox{cas} (-b) = \cos (b) \mbox{cas} (a) + \sin (b) \mbox{cas}(-a) \,</math>
Die Ableitung ist gegeben als:
- <math>\frac{\mbox{d cas} (a)}{\mbox{d } a} = \cos (a) - \sin (a) = \mbox{cas}(-a)</math>
Literatur
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Einzelnachweise
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