Handschlaglemma

In der Graphentheorie, einem der Teilgebiete der Mathematik, besagt das Handschlaglemma ({{#invoke:Vorlage:lang|full|CODE=en|SCRIPTING=Latn|SERVICE=englisch}}), dass in jedem endlichen einfachen Graphen die Summe der Grade aller Knoten genau das Doppelte seiner Kantenzahl ausmacht.

Formal heißt das: Ist <math>G=(V,E)</math> ein einfacher Graph und bezeichnet <math>d_G(v)</math> den Grad des Knotens <math>v \in V</math> (bei gerichteten Graphen werden sowohl die Ein- als auch die Ausgangs-Grade gezählt), so gilt

<math>\sum_{v\in V} d_G(v) = 2\cdot |E|.</math><ref group="A">Diese Formel besitzt eine Verallgemeinerung auf Hypergraphen.</ref>

Daraus folgt sofort, dass jeder Graph eine gerade Anzahl von Knoten ungeraden Grades hat.

Bei regulären Graphen vereinfacht sich die Formel. Für einen <math>k</math>-regulären Graphen gilt

Das Handschlaglemma wurde im Rahmen des Königsberger Brückenproblems 1736 von Leonhard Euler bewiesen.

Der Name des Handschlaglemmas kommt von dem Beispiel, dass die Anzahl der Personen auf einer Party, die einer ungeraden Zahl von Gästen die Hand geben, gerade ist.

Literatur

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Lutz Volkmann: Fundamente der Graphentheorie. Springer, Wien 1996, ISBN 3-211-82774-9, S. 5, Satz 1.1

Weblinks

Handschlag-Lemma auf PlanetMath (englisch)
Lutz Volkmann: Graphen an allen Ecken und Kanten (PDF; 3,5 MB). Skript 2006, S. 4, Satz 1.1

Anmerkungen