Kanonische Gleichungen

Die kanonischen Gleichungen sind in der klassischen Mechanik die Bewegungsgleichungen eines Systems, das durch eine Hamiltonfunktion <math> H = H(\mathbf{q},\mathbf{p},t)</math> beschrieben wird, und werden deshalb auch Hamiltonsche Bewegungsgleichungen genannt.

Fundamentale Bewegungsgleichungen

Die fundamentalen Bewegungsgleichungen für die Koordinaten und Impulse lauten<ref name=":0">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name=":1" />:

<math>\begin{align}

\dot q_i = \frac{\mathrm d q_i}{\mathrm d t} &= +\frac{\partial H}{\partial p_i} \\ \dot p_i = \frac{\mathrm d p_i}{\mathrm d t} &= -\frac{\partial H}{\partial q_i} \end{align}</math>.

dabei für <math> i = 1, \dots, n</math>. Dabei sind

• <math>q_i</math> die generalisierten Koordinaten,
• <math>p_i</math>die generalisierten Impulse des Systems.

Diese fasst man in der Regel zu Vektoren <math>\mathbf{q} = (q_1, \dots, q_n)</math> und <math>\mathbf{p} = (p_1, \dots p_n)</math> zusammen. <math> n</math> ist entsprechend die Anzahl an generalisierten Koordinaten und Impulsen. In der Literatur wird <math> n</math> bzw. <math> 2 n</math> auch als Anzahl an Freiheitsgraden des Systems bezeichnet.<ref name=":0" /><ref name=":1">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Die kanonischen Gleichungen folgen direkt aus dem Hamiltonschen Prinzip durch ein erweitertes Variationsprinzip, bei dem Koordinaten und Impulse gleichberechtigt behandelt werden.

Die kanonischen Gleichungen sind eng mit den kanonischen Transformationen verknüpft, die über die Hamilton-Jacobi-Gleichung die Brücke zur Quantenmechanik schlagen. Einen ersten Hinweis darauf bietet die elegante Formulierung der kanonischen Gleichungen mit Poissonklammern:

<math>\begin{align}

\dot{q}_i &= \left\{q_i,H\right\} = \frac{\partial q_i}{\partial q_j}\frac{\partial H}{\partial p_j} - \frac{\partial q_i}{\partial p_j}\frac{\partial H}{\partial q_j} = \frac{\partial H}{\partial p_i}\\ \dot{p}_i &= \left\{p_i,H\right\} = \frac{\partial p_i}{\partial q_j}\frac{\partial H}{\partial p_j} - \frac{\partial p_i}{\partial p_j}\frac{\partial H}{\partial q_j} = -\frac{\partial H}{\partial q_i} \end{align}</math>

Herleitung aus dem Lagrange-Formalismus

Sei die Lagrangefunktion <math>\mathcal{L}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t)</math> eines Systems mit generalisierten Koordinaten <math>\mathbf{q} = (q_1, \dots, q_n)</math> und deren Zeitableitungen <math>\dot\mathbf{q} = (\dot q_1, \dots, \dot q_n)</math> gegeben. Die Hamiltonfunktion <math>H = H(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t)</math> erhält man aus der Lagrangefunktion <math>\mathcal{L}</math> mittels Legendre-Transformation<ref name=":1" />

<math>H(\mathbf{q}, \dot\mathbf{q}, t) = \sum_{j=1}^{n} p_j(\mathbf{q}, \dot\mathbf{q}, t) \dot{q}_j - \mathcal{L}(\mathbf{q}, \dot\mathbf{q}, t),</math>

wobei

<math>p_i(\mathbf{q}, \dot\mathbf{q}, t) := \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot q_i}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t),

\quad i = 1, \dots, n</math>

die generalisierten Impulse sind. Löst man diese explizit nach <math>\dot\mathbf{q}(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t)</math> auf und setzt dies ein erhält man die Hamiltonfunktion

<math>H(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) = \sum_{j=1}^{n} p_j \dot{q}_j(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) - \mathcal{L}(\mathbf{q}, \dot\mathbf{q}(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t), t),</math>

in Abhängigkeit von <math>\mathbf{p}</math> statt von <math>\dot\mathbf{q}</math>. Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen erhält man durch Berechnung der Ableitungen unter Zuhilfenahme der Lagrange-Gleichungen

<math>\dot{p}_i(\mathbf{q}, \dot\mathbf{q}, t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}_i}(\mathbf{q}, \dot\mathbf{q}, t) = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q_i}(\mathbf{q}, \dot\mathbf{q}, t) </math>

für <math>i = 1, \dots, n</math>. Anwenden der Kettenregel liefert<ref name=":0" />:

<math>\frac{\partial H}{\partial p_i} (\mathbf{q}, \mathbf{p}, t)

= \sum_{j=1}^{n} \left[\frac{\partial p_j}{\partial p_i} \dot{q}_j(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) + p_j\frac{\partial \dot{q}_j}{\partial p_i} (\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}_j}(\mathbf{q}, \dot\mathbf{q}(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t), t) \frac{\partial\dot{q}_j}{\partial p_i}(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t)\right] = \dot{q}_i(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t),</math>

<math>\begin{align}

\frac{\partial H}{\partial q_i} (\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) =& \sum_{j=1}^{n} \left[\frac{\partial p_j}{\partial q_i} \dot{q}_j(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) + p_j\frac{\partial \dot{q}_j}{\partial q_i} (\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}_j}(\mathbf{q}, \dot\mathbf{q}(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t), t) \frac{\partial \dot{q}_j}{\partial q_i}(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t)\right] - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q_i}(\mathbf{q}, \dot\mathbf{q}(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t), t) \\ =& -\dot{p}_i(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) \end{align}</math>

für <math>i = 1, \dots, n</math>, wobei sich der zweite und dritte Term in der Summe jeweils aufheben aufgrund der Definition der kanonischen Impulse <math>p_j</math>. In der ersten Gleichung bleibt nur der erste Term in der Summe für <math>i = j</math> stehen wegen <math>\frac{\partial p_i}{\partial p_j} = \delta_{ij}</math>, mit dem Kronecker-Delta <math>\delta_{ij}</math>. In der zweiten Gleichung verschwindet die Summe komplett wegen <math>\frac{\partial p_i}{\partial q_j} = 0</math>. Nur der letzte Term außerhalb der Summe bleibt stehen. Dieser wurde anschließend durch die zugehörige Lagrange-Gleichung ersetzt.

Verallgemeinerung

Für eine beliebige Phasenraumfunktion <math>A = A(q,p,t)</math> des Systems kann man die totale Ableitung nach der Zeit aufgrund der Kettenregel schreiben als:

<math>\frac{\mathrm d A}{\mathrm dt} = \frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\mathrm d q_i}{\mathrm dt} + \frac{\partial A}{\partial p_i}\frac{\mathrm d p_i}{\mathrm dt} + \frac{\partial A}{\partial t}</math>.

Aufgrund der kanonischen Gleichungen für Koordinaten und Impulse und der Definition der Poisson-Klammer folgt daraus

<math>\begin{align}

\frac{\mathrm d A}{\mathrm dt} &= \frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i} - \frac{\partial A}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i} + \frac{\partial A}{\partial t} \\ &= \{A,H\} + \frac{\partial A}{\partial t} \end{align}</math>.

An dieser Form erkennt man die Korrespondenz der klassischen Bewegungsgleichung einer Phasenraumfunktion mit der Heisenbergschen Bewegungsgleichung für Observable in der Quantenmechanik, wenn die Poisson-Klammer durch den Kommutator und die Hamiltonfunktion durch den Hamiltonoperator ersetzt wird.

Die kanonischen Gleichungen für Koordinaten und Impulse in ihrer Schreibweise mithilfe der Poisson-Klammern gehen als Spezialfall aus der verallgemeinerten Form wieder hervor.

Eine Größe <math>A</math> ist erhalten, wenn sie der Gleichung

<math>\{A,H\} + \frac{\partial A}{\partial t} = 0</math>

gehorcht. Wenn die betrachtete Größe nicht explizit zeitabhängig ist, vereinfacht sich dies weiter zu

<math>\{A,H\} = 0</math>.

Literatur

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• L.D.Landau, E.M.Lifschitz: Lehrbuch der Theoretischen Physik 1 Mechanik. 14. Auflage. Europa-Lehrmittel 1997, ISBN 978-3-8085-5612-2.
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Einzelnachweise

<references />