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Gruppe der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis

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Die Gruppe der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis <math>C(\Q)</math> besteht aus den Punkten <math>(x,y)</math> mit rationalen Koordinaten, für die <math>x^2+y^2=1</math> gilt. Die Menge dieser Punkte ist eng mit den primen pythagoräischen Tripeln verwandt. Ist ein primitives rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen teilerfremden Seitenlängen <math>a, b, c</math> gegeben, wobei <math>c</math> die Hypotenuse ist, dann gibt es auf dem Einheitskreis den rationalen Punkt <math>(\tfrac ac,\tfrac bc)</math>. Ist umgekehrt <math>(x,y)</math> ein rationaler Punkt auf dem Einheitskreis, dann gibt es ein primitives rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten <math>xc, yc, c</math>, wobei <math>c</math> das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner von <math>x</math> und <math>y</math> ist.

Gruppenoperation

Die Menge der rationalen Punkte bildet eine unendliche Abelsche Gruppe. Das neutrale Element ist der Punkt <math>(1, 0)</math>. Die Gruppenoperation oder „Summe“ ist <math>(x, y) + (t, u) = (xt - uy, xu + yt)</math>. Geometrisch ist dies die Winkeladdition, wenn <math>x = \cos (\alpha)</math> und <math>y = \sin (\alpha)</math>, wobei <math>\alpha</math> der Winkel des Radiusvektors <math>(x, y)</math> mit dem Radiusvektor <math>(1,0)</math> im mathematisch positiven Sinne ist. Wenn also <math>(x, y)</math> und <math>(t, u)</math> jeweils mit <math>(1, 0)</math> die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> bilden, ist deren Summe <math>(xt - uy, xu + yt)</math> der rationale Punkt auf dem Einheitskreis mit dem Winkel <math>\alpha+\beta</math> im Sinne der gewöhnlichen Addition von Winkeln.

Identifiziert man jeweils den Punkt <math>(x,y)</math> mit der komplexen Zahl <math>x+ y i</math>, so entspricht die Addition in <math>C(\Q)</math> der Multiplikation in <math>\Complex</math>.

Gruppenstruktur

Die Gruppe <math>C(\Q)</math> ist isomorph zu einer unendlichen direkten Summe von zyklischen Untergruppen von <math>C(\Q)</math>:

<math>C(\Q) \cong C_2 \oplus \left( \bigoplus_{p\in\mathbb P,\atop p\equiv 1\pmod 4} C_p \right),</math>

wobei <math>C_2</math> die durch <math>(0,1)</math> erzeugte Untergruppe ist, und die <math>C_p</math> jene Untergruppen sind, die von Punkten der Form <math>\left(\tfrac{a^2-b^2}p, \tfrac{2ab}p\right)</math> mit <math>a,b\in\N, a>b>0, a^2+b^2=p</math> erzeugt werden, wobei <math>p</math> eine Pythagoreische Primzahl ist.

Diese Aussage ist eine Anwendung von Hilberts Satz 90 auf das Problem der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis, siehe dazu bei: Lin Tan.

Literatur

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