Grenzwertkriterium

Das Grenzwertkriterium ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, um zu entscheiden, ob eine unendliche Reihe konvergent oder divergent ist.

Aussagen

Es seien <math>\sum_k a_k</math> und <math>\sum_k b_k</math> zwei unendliche Reihen mit positiven Summanden (das heißt, <math>a_k > 0</math> und <math>b_k > 0</math> für alle <math>k \in \N</math>). Dann gilt

• Ist <math>\limsup \frac{a_k}{b_k}<\infty</math> und konvergiert die Reihe <math>\sum b_k</math>, so konvergiert auch <math>\sum a_k</math>.
• Ist <math>\liminf \frac{a_k}{b_k}>0</math> (das ist äquivalent zu <math>\limsup \frac{b_k}{a_k}<\infty</math>), so folgt analog aus der Konvergenz von <math>\sum a_k</math> die Konvergenz von <math>\sum b_k</math>.
• Gilt zugleich <math>0<\liminf \frac{a_k}{b_k}\le \limsup \frac{a_k}{b_k}<\infty</math>, so haben <math>\sum a_k</math> und <math>\sum b_k</math> das gleiche Konvergenzverhalten.

Insbesondere gilt:

• Konvergiert die Folge <math> \frac{a_k}{b_k}</math> gegen einen Wert <math>c</math> mit <math>0 < c < \infty</math>, so konvergiert die Reihe <math>\sum a_k</math> genau dann, wenn die Reihe <math>\sum b_k</math> konvergiert.

Beweis

Ist <math>\limsup \frac{a_k}{b_k}<\infty</math>, so ist <math>\frac{a_k}{b_k}<C</math> und daher <math>a_k < C \, b_k</math> für ein geeignetes <math>C</math> und alle genügend großen <math>k</math>. Nach dem Majorantenkriterium folgt aus der Konvergenz der Reihe <math>\sum b_k</math> die Konvergenz von <math>\sum a_k</math>.

Literatur

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 1980, ISBN 3-519-02221-4 (17. aktualisierte Auflage. ebenda 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9), S. 204-205
• Rinaldo B. Schinazi: From Calculus to Analysis. Springer, 2011, ISBN 978-0-8176-8289-7, S. 50
• Ed Barbeau: Fallacies, Flaws, and Flimflam. In: The College Mathematics Journal, Vol. 38, No. 2, März 2007, S. 131–134, {{#invoke:JSTOR|f|1=27646447}}{{#if:

 | {{#ifeq: 0 | 0
     |  }}

}}

• Michele Longo, Vincenzo Valori: The Comparison Test: Not Just for Nonnegative Series. In: Mathematics Magazine, Vol. 79, No. 3, Juni 2006, S. 205–210 ({{#invoke:JSTOR|f|1=27642937}}{{#if:

 | {{#ifeq: 0 | 0
     |  }}

}})

• J. Marshall Ash: The Limit Comparison Test Needs Positivity. In: Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 5, Dezember 2012, S. 374–375, doi:10.4169/math.mag.85.5.374

Weblinks

• Oswald Riemenschneider: Analysis II (PDF; 1,8 MB) Skript, Uni Hamburg, Satz 16.33
• {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: limit comparison test. In: MathWorld (englisch). {{#if: LimitComparisonTest | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | LimitComparisonTest | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
• Pauls Online Notes on Comparison Test