Great Internet Mersenne Prime Search

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Die Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) ist ein gemeinschaftliches Projekt zur computergestützten Suche nach Mersenne-Primzahlen. Das Projekt wurde von George Woltman gegründet, der auch die Software Prime95 und MPrime für das Projekt schrieb. Scott Kurowski programmierte den Internet PrimeNet<ref name="primenet">{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}| |}}}}{{#if:|{{{autor}}}: }}{{#if:|{{#if:PrimeNet Statistics|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=PrimeNet Statistics}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.mersenne.org/primenet/%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=PrimeNet Statistics}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.mersenne.org/primenet/}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=PrimeNet Statistics}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:{{#if: 2019-02-22 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

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Das GIMPS-Forschungsprojekt

GIMPS bietet weltweit die Beteiligung an einem Volunteer-Computing-Projekt an, um Mersenne-Primzahlen zu finden. Die erforderliche Software, die George Woltman ab 1996 programmierte, kann von der GIMPS-Download-Webseite<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}| |}}}}{{#if:|{{{autor}}}: }}{{#if:|{{#if:GIMPS – Free Prime95 software downloads – PrimeNet|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=GIMPS – Free Prime95 software downloads – PrimeNet}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.mersenne.org/download/%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=GIMPS – Free Prime95 software downloads – PrimeNet}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.mersenne.org/download/}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=GIMPS – Free Prime95 software downloads – PrimeNet}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:{{#if: 2019-02-22 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

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Der GIMPS-Supercomputer erzielte am 6. April 2000 den Preis der Electronic Frontier Foundation (EFF) von 50.000 US-Dollar für das erstmalige Auffinden einer Primzahl mit mehr als einer Million Dezimalziffern. Es handelt sich um die 38. Mersenne-Primzahl M_{6 972 593},<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}| |}}}}{{#if:|{{{autor}}}: }}{{#if:|{{#if:Mersenne Prime Discovery – 2^6972593-1 is Prime!|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Mersenne Prime Discovery – 2^6972593-1 is Prime!}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.mersenne.org/primes/?press=M6972593%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Mersenne Prime Discovery – 2^6972593-1 is Prime!}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.mersenne.org/primes/?press=M6972593}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Mersenne Prime Discovery – 2^6972593-1 is Prime!}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:{{#if: 2019-02-22 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

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Mit 150.000 US-Dollar für das Auffinden der ersten Primzahl mit mehr als 100 Millionen Dezimalziffern und 250.000 US-Dollar für das erste Finden einer Primzahl mit mehr als 1 Milliarde Dezimalziffern sind zwei weitere Preise, die sogenannten Cooperative Computing Awards der EFF,<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}| |}}}}{{#if:|{{{autor}}}: }}{{#if:|{{#if:EFF Cooperative Computing Awards|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=EFF Cooperative Computing Awards}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.eff.org/awards/coop%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=EFF Cooperative Computing Awards}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.eff.org/awards/coop}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=EFF Cooperative Computing Awards}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:2008-02-29{{#if: 2019-02-22 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

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Datum	TFLOP/s
Anfang 2004	14,0
Mitte 2006	20,0
Mitte 2008	30,0
Okt. 2010	50,0
März 2012	86,1
Feb. 2013	130,5
Jan. 2017	367 000,0

Status

Anfang Februar 2013 hat GIMPS einen mittleren Durchsatz von ca. 130,546 TFLOP/s (Billionen Rechenoperationen pro Sekunde) geleistet.<ref>PrimeNet Activity Summary Aggregate Computing Power last 30 days, actual 86,107 TFLOP/sec; Webzugriff am 14. Februar 2013.</ref> Im März 2012 hatte GIMPS einen mittleren Durchsatz von ca. 86,107 TFLOP/s,<ref>PrimeNet Activity Summary Aggregate Computing Power last 30 days, actual 86.107 TFLOP/sec; abgerufen am 5. April 2012.</ref> was GIMPS theoretisch den Platz 153 unter den leistungsstärksten Computern der Welt einbrachte.<ref>TOP500 per November 2011; nach dem 'HP DL160 Cluster G6' von Hewlett-Packard – HP DL160 mit 87,095 TFLOP/s (R max).</ref> Im Oktober 2010 leistete GIMPS-PrimeNet rund 50 TFLOP/s, Mitte 2008 waren es ca. 30 TFLOP/s, Mitte 2006 ca. 20 TFLOP/s und zu Anfang 2004 ca. 14 TFLOP/s. Im Januar 2017 lag die Leistung bereits bei rund 367 PFLOP/s und damit theoretisch auf Rang 468 der Weltrangliste.<ref>{{#if:2017-01-03|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}| |}}}}{{#if:|{{{autor}}}: }}{{#if:https://web.archive.org/web/20170103120823/https://www.top500.org/list/2016/11/?page=5%7C{{#if:Top500 List – November 2016 | TOP500 Supercomputer Sites|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://web.archive.org/web/20170103120823/https://www.top500.org/list/2016/11/?page=5}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Top500 List – November 2016 | TOP500 Supercomputer Sites}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.top500.org/list/2016/11/?page=5%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7Cja}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Top500 List – November 2016 | TOP500 Supercomputer Sites}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.top500.org/list/2016/11/?page=5}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Top500 List – November 2016 | TOP500 Supercomputer Sites}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:jawww.top500.orghttps://web.archive.org/web/20170103120823/https://www.top500.org/list/2016/11/?page=5{{#if: 2017-01-07 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

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Geschichte

Das GIMPS-Projekt begann im Januar 1996 mit einem Programm, das auf i386-Computern lief.<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}| |}}}}{{#if:George Woltman|George Woltman: }}{{#if:|{{#if:The Mersenne Newsletter, issue #1|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1=}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=The Mersenne Newsletter, issue #1}}]{{#if:txt| (txt)}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.mersenne.org/newsletters/news1.txt%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=The Mersenne Newsletter, issue #1}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.mersenne.org/newsletters/news1.txt}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=The Mersenne Newsletter, issue #1}}}}]}}{{#if:txt| (txt{{#if:Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS)1996-02-24{{#if: 2009-06-16 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

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Gefundene Primzahlen

Siehe: Mersenne-Primzahl

Das Projekt hat bis dato (Oktober 2024) insgesamt 18 Mersenne-Primzahlen gefunden, aktuell ist die größte Primzahl 2^{136 279 841} − 1 (oder kurz M_{136 279 841}). Sie wurde am 12. Oktober 2024 von Luke Durant gefunden.<ref name="PrimeList">{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}| |}}}}{{#if:|{{{autor}}}: }}{{#if:|{{#if:List of Known Mersenne Prime Numbers|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=List of Known Mersenne Prime Numbers}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.mersenne.org/primes/%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=List of Known Mersenne Prime Numbers}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.mersenne.org/primes/}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=List of Known Mersenne Prime Numbers}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:Great Internet Mersenne Prime Search{{#if: 2024-10-21 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

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Mersenne-Primzahlen sind Potenzen von 2 minus 1, etwa 2³ − 1 = 7, während etwa die Mersenne-Zahl 2⁴ − 1 = 15 nicht prim ist. Sie werden mit M_q bezeichnet, wobei q der Exponent ist. Die Primzahl selbst ist {{#if:trim|2^q − 1}}. Somit ist die kleinste Primzahl in untenstehender Tabelle {{#if:trim|2^{1 398 269} − 1.}}

Mn ist der Rang der Mersenne-Primzahl gemäß ihrem Exponenten. M50 ist die größte Mersenne-Primzahl, für die ihr Rang sichergestellt wurde, da alle kleineren Kandidaten doppelt geprüft wurden.

Entdeckungs- datum	Primzahl	Dezimal- Stellen	Name	Entdecker (Quelle: <ref name="PrimeList" />)	Maschine
13. Nov. 1996	M_{1 398 269}	420 921	M35	Joel Armengaud	Pentium (90 MHz)
24. Aug. 1997	M_{2 976 221}	895 932	M36	Gordon Spence	Pentium (100 MHz)
27. Jan. 1998	M_{3 021 377}	909 526	M37	Roland Clarkson	Pentium (200 MHz)
1. Juni 1999	M_{6 972 593}	2 098 960	M38	Nayan Hajratwala	Pentium (350 MHz)
14. Nov. 2001	M_{13 466 917}	4 053 946	M39	Michael Cameron	AMD Thunderbird (800 MHz)
17. Nov. 2003	M_{20 996 011}	6 320 430	M40	Michael Shafer	Pentium (2 GHz)
15. Mai 2004	M_{24 036 583}	7 235 733	M41	Josh Findley	Pentium 4 (2,4 GHz)
18. Feb. 2005	M_{25 964 951}	7 816 230	M42	Martin Nowak	Pentium 4 (2,4 GHz)
15. Dez. 2005	M_{30 402 457}	9 152 052	M43	Curtis Cooper & Steven Boone	Pentium 4 (2 GHz übertaktet auf 3 GHz)
4. Sep. 2006	M_{32 582 657}	9 808 358	M44	Curtis Cooper & Steven Boone	Pentium 4 (3 GHz)
23. Aug. 2008	M_{43 112 609}	12 978 189	M47	Hans-Michael Elvenich	Intel Core 2 Duo E6600 CPU (2,4 GHz)
6. Sep. 2008	M_{37 156 667}	11 185 272	M45	Odd M. Strindmo	Intel Core 2 Duo (2,83 GHz)
4. Jan. 2009	M_{42 643 801}	12 837 064	M46	Edson Smith	Intel Core 2 Duo (3 GHz)
25. Jan. 2013	M_{57 885 161}	17 425 170	M48	Curtis Cooper	Intel Core 2 Duo (3 GHz)
7. Jan. 2016	M_{74 207 281}	22 338 618	M49	Curtis Cooper	Intel i7-4790 (3,6 GHz)
26. Dez. 2017	M_{77 232 917}	23 249 425	M50	Jon Pace	Intel i5-6600 (3,3 GHz)<ref name="PrimeList" />
7. Dez. 2018	M_{82 589 933}	24 862 048	M51 ?	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12. Okt. 2024	M_{136 279 841}	41 024 320	M52 ?	Luke Durant	NVIDIA A100 GPU<ref name="PrimeList" />

Immer wenn eine mögliche Primzahl an den Server gemeldet wird, wird vor deren Verkündung eine Verifikation (Zweittest) durchgeführt, um Fehlmeldungen zu vermeiden: 2003 beispielsweise wurde eine falsche als 40. Mersenne-Primzahl gemeldet.

Die Software

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Das Projekt verwendet für die Suche nach Mersenne-Primzahlen vorwiegend den computerbasierten Lucas-Lehmer-Test (LL-Test) von Édouard Lucas und Derrick Henry Lehmer,<ref>What are Mersenne primes? How are they useful? – GIMPS FAQ Page</ref> ein Algorithmus, der auf den Test von Mersenne-Primzahlen spezialisiert und insbesondere effizient in binären Computersystemen ist.

Vor dem eigentlichen LL-Test erfolgt eine kurze Phase mit Probedivisionen auf enthaltene kleine Faktoren. Computerisierte Probedivisionen dauern im Vergleich zu den LL-Tests sehr viel kürzer, nur Tage statt Wochen. Dadurch können schnell und effizient Mersenne-Primzahl-Kandidaten aussortiert werden, wenn für diese kleine Faktoren gefunden werden können. Dieses effiziente Eliminieren von Kandidaten wird regelmäßig für eine große Zahl von Kandidaten erfüllt, so ist etwa jede dritte Kandidatin durch drei teilbar, jede fünfte durch fünf usw. John M. Pollards P − 1-Algorithmus wird für die Suche nach enthaltenen größeren Faktoren in Mersenne-Primzahl-Kandidaten verwendet.

Obwohl der GIMPS-Quelltext frei verfügbar ist, gilt die Software nicht als freie Software, da sich Benutzer an die Projektbedingungen, die GIMPS End User License Agreement (EULA)<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}| |}}}}{{#if:|{{{autor}}}: }}{{#if:|{{#if:GIMPS End User License Agreement|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=GIMPS End User License Agreement}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.mersenne.org/legal/#EULA%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=GIMPS End User License Agreement}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.mersenne.org/legal/#EULA}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=GIMPS End User License Agreement}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:Mersenne Research Inc{{#if: 2019-04-25 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

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Der Lucas-Lehmer-Test

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Dieser Test ist ein speziell auf Mersenne-Zahlen zugeschnittener Primzahltest, der auf Arbeiten von Édouard Lucas aus der Zeit 1870–1876 beruht und im Jahr 1930 von Derrick Henry Lehmer ergänzt wurde.

Er funktioniert wie folgt:

Sei <math>p</math> ungerade und prim. Die Folge <math>S(k)</math> sei definiert durch <math>S(1) = 4, S(k+1) = S(k)^2-2</math>.

Dann gilt: <math>M_p = 2^p-1</math> ist genau dann eine Primzahl, wenn <math>S(p-1)</math> durch <math>M_p</math> teilbar ist.

Literatur

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Siehe auch

Einzelnachweise

Weblinks