Gravitationskonstante

Physikalische Konstante
Name	Gravitationskonstante
Formelzeichen	<math> G </math>
Größenart	' }}
Wert
SI	Vorlage:ZahlExp{\mathrm{kg\,s^2{{#if:\|; }}
Unsicherheit (rel.)	{{{Genauigkeit}}} }}
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Planck-Einheiten	{{{WertPlanck}}} }}
Bezug zu anderen Konstanten
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Quellen und Anmerkungen
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</math>}}

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gelegentlich auch <math>\frac1{8\pi}</math> | Formel = | Anmerkung = Quelle SI-Wert: CODATA 2022<ref name="CODATAbg" /> }} Die Gravitationskonstante (Formelzeichen <math>G</math> oder <math>\gamma</math>) ist die fundamentale Naturkonstante, die die Stärke der Gravitation bestimmt. Im Gravitationsgesetz nach Isaac Newton ergibt sie direkt die Stärke der Gravitationskraft zwischen zwei Körpern in Abhängigkeit von ihrem Abstand und ihren Massen; in der allgemeinen Relativitätstheorie nach Albert Einstein bestimmt sie die Krümmung der vierdimensionalen Raumzeit und damit den Ablauf aller mit der Gravitation zusammenhängenden Erscheinungen. Für die Beschreibung astronomischer Größen und Vorgänge besitzt sie fundamentale Bedeutung.

Die Gravitationskonstante <math>G</math> ist nicht zu verwechseln mit der auf ein Teilchen wirkenden Gravitationsbeschleunigung <math>g</math>, die in vielen Situationen ebenfalls als konstant angesehen werden kann.

Definition

Nach dem newtonschen Gravitationsgesetz ziehen sich zwei kugelsymmetrische Körper mit den Massen <math>m_1</math> und <math>m_2</math>, deren Mittelpunkte einen Abstand <math>r</math> haben, gegenseitig mit folgender Kraft an:

Die in der Gleichung auftretende Proportionalitätskonstante <math>G</math> ist die Gravitationskonstante.

Diese Form des Gesetzes wurde 1873, zwei Jahrhunderte nach Newton, durch Alfred Cornu und Jean-Baptistin Baille eingeführt.<ref name="SpeakeQuinn2014" /> Newton schrieb sein Gesetz ohne Nennung der Konstante in Form der Proportionalitäten <math>F \sim m_1\ ,\ F \sim m_2\ ,\ F \sim r^{-2}</math>, wie es damals in der wissenschaftlichen Literatur üblich war.

Um die Formulierung eines rationalisierten Einheitensystems zu erhalten, hätte man eine Definition über <math>F = G \cdot \tfrac{m_1 \cdot m_2}{4 \pi \cdot r^2}</math> wählen müssen, also mit einer <math display="inline">4 \pi</math>-mal so großen Proportionalitätskonstanten.

Wert und Einheiten

Der Wert der Gravitationskonstante beträgt:<ref name="CODATAbg" />

<math>G = 6{,}674\,30(15) \cdot 10^{-11}\,\mathrm{\frac{m^3}{kg \cdot s^2}}</math>.

Hierbei ist „(15)“ die geschätzte Standardunsicherheit in den letzten beiden Dezimalstellen.

Verglichen mit den anderen Grundkräften der Physik ist die Gravitation sehr schwach, was sich in dem kleinen Wert ihrer Konstanten ausdrückt. Berechnet man beispielsweise den Betrag des Verhältnisses zwischen der Gravitationskraft und der elektrostatischen Kraft zwischen zwei Protonen, so erhält man unabhängig vom Abstand:

<math>\left| \frac{F_\text{Gravitation}}{F_\text{elektrisch}}\right| = \frac{G \cdot m_\text{Proton}^2}{e^2 / (4 \pi \cdot \varepsilon_0)} \approx 10^{-36}</math>

mit

der Elementarladung <math>e</math>
der elektrischen Feldkonstante <math>\varepsilon_0</math>.

Wie klein dieser Wert ist, sieht man auch, wenn man die Gravitationskonstante in Einheiten der Teilchenphysik angibt, also mit der reduzierten Planck-Konstante <math>\hbar</math>, der Lichtgeschwindigkeit <math>c</math> und der Energieeinheit GeV:<ref name="CODATAbgspu" />

<math>G = 6{,}708\,83(15) \cdot 10^{-39} \, \frac{\hbar \cdot c}{(\mathrm{GeV}/c^2)^{2}}</math>

Messungen

Voraussetzungen

Aus der im Alltag beobachtbaren Gravitationskraft zwischen der Erde und anderen Objekten (Gewicht von Objekten, Fallbeschleunigung, Umlaufbahnen von Mond und Satelliten) lässt sich das Produkt aus G und der Erdmasse M_⊕, die geozentrische Gravitationskonstante GM_⊕, auf bis zu zehn Dezimalstellen genau bestimmen. Analog lässt sich die heliozentrische Gravitationskonstante GM_☉ aus den Planetenbewegungen ableiten. Es gibt aber keine Möglichkeit, die Masse von Himmelskörpern ohne Kenntnis der Gravitationskonstante auch nur halbwegs genau zu bestimmen.

Zur Messung von <math>G</math> muss daher auf die geringe Anziehungskraft zwischen weitaus kleineren Körpern zurückgegriffen werden, deren Masse man präzise bestimmen kann. Beispielsweise beträgt die Anziehungskraft zwischen zwei Körpern von je 100 kg Masse in 1 m Abstand weniger als 10⁻⁹ (ein Milliardstel) ihrer Gewichtskraft, und alle andere Materie – im Labor oder außerhalb davon – übt auf die Testkörper ebenfalls Gravitation aus. Diese Messungen gestalten sich daher schwierig. Schon kleinste Temperaturunterschiede, Luftströmungen, Ungleichmäßigkeiten im Material oder Kriechen des Materials, sogar die Anzahl der Fahrzeuge auf dem Parkplatz vor dem Institutsgebäude, verfälschen die Ergebnisse.<ref name="Bartlett">David F. Bartlett: Why is it so easy to underestimate systematic errors when measuring G? Phil. Trans. R. Soc. A 372, 2014, doi:10.1098/rsta.2014.0021 (freier Volltext).</ref> Die bislang erreichte Genauigkeit ist mit fünf Dezimalstellen deutlich geringer als für andere Naturkonstanten.

Mit der im Labor bestimmten Gravitationskonstante lässt sich die Masse eines Himmelskörpers bestimmen, wenn er von einem Begleiter umrundet wird, dessen Bahnradius <math>r</math> und Umlaufkreisfrequenz <math>\omega</math> bekannt sind. {{#invoke:Vorlage:Anker|f |errCat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Anker |errHide=1}} Aus dem Gravitationsparameter <math> \mu = r^3 \omega^2</math> ergibt sich die Masse des Himmelskörpers als <math>M= \mu/G</math> (siehe Keplersche Gesetze). Das ist trotz der Unsicherheit in <math>G</math> wesentlich genauer als die Schätzung der Masse des Himmelskörpers aus seinem Durchmesser und dem angenommenen Dichteverlauf.

Schiehallion-Experiment

Die erste erfolgreiche Messung mit einer bekannten Masse wurde 1774 von einem Forscherteam der Royal Society durchgeführt (Schiehallion-Experiment). Hierbei wurde die Lotabweichung im Schwerefeld der Erde aufgrund der gravitativen Anziehung eines Berges gemessen. Hieraus ließ sich das Verhältnis aus mittlerer Dichte der Erde und Dichte des Berges ermitteln, was (richtigerweise) einen unerwartet hohen Wert für die Dichte und damit Masse der Erde ergab.

Das Cavendish-Experiment

Datei:Cavendish Experiment.png

Cavendish-Experiment (1798)

Das erste Laborexperiment zur Messung der Gravitationskraft zwischen zwei Körpern bekannter Masse gelang Henry Cavendish im Jahr 1797 mithilfe der von John Michell (1724–1793) einige Jahre zuvor eigens dafür erfundenen Gravitationswaage.<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}| |}}}}{{#if:|{{{autor}}}: }}{{#if:|{{#if:Das Cavendish-Experiment|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Das Cavendish-Experiment}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://tetfolio.fu-berlin.de/web/1678702%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Das Cavendish-Experiment}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://tetfolio.fu-berlin.de/web/1678702}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Das Cavendish-Experiment}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:{{#if: 2024-11-21 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

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Aus Cavendishs Messwerten ergibt sich

<math>G_\mathrm{Cavendish} = 6{,}754 \cdot 10^{-11}\,\mathrm{{m^3}\,{kg^{-1}\,s^{-2}}}.</math>

Dies verfehlt den heutigen Wert nur um 1,2 Prozent.

Allerdings war der Begriff einer Gravitationskonstante zu Cavendishs Zeiten noch gar nicht üblich, vielmehr wurde das Newtonsche Gravitationsgesetz ausschließlich in Form von Proportionalitäten gebraucht. Dementsprechend betrachtete er das Verhältnis der beiden Kräfte <math> F_c </math> und <math> F_E </math>, mit denen die kleinen Kugeln von den großen bzw. von der Erde angezogen werden. Nach Newton gilt:

<math> F_E </math> ist nichts anderes als das (Gesamt-)Gewicht der kleinen Kugeln, sodass die Erdmasse <math> M_E </math> hierin die einzige Unbekannte ist. Cavendish konnte aus seinen Messdaten die Masse der Erde bestimmen. Populär wurde die physikalisch nicht korrekte und genau genommen sinnlose Formulierung, Cavendish habe „die Erde gewogen“.

Nachdem die Erdmasse, implizit also der Wert der Gravitationskonstante, bekannt war, konnten auch die Massen weiterer Himmelskörper des Sonnensystems bestimmt werden.

Moderne Messungen

Moderne Messungen verwenden verschiedene Methoden:

das Prinzip des Cavendish-Experiments, mit kleineren Massen und dafür möglichst dünnen Fäden zur Aufhängung, weil deren Tragkraft mit kleinerem Radius r gemäß r² abnimmt, das Rückstellmoment aber mit r⁴<ref name="SpeakeQuinn2014" />
- … mit Messung der Änderung der Schwingungsfrequenz (statt des Winkels)<ref name="SpeakeQuinn2014" /><ref name="Li" />
- … mit Messung der Winkelbeschleunigung: Beide Massen können sich unabhängig drehen, und der Drehtisch wird so nachgeführt, dass die Torsion kompensiert wird, wodurch kein Drehwinkel gemessen wird, sondern die Winkelbeschleunigung zur Kompensation des Drehwinkels<ref name="Li" />
… mit Ausgleich des Drehmoments durch elektrische Felder;
Änderung der Differenz des Gewichts zweier vertikal übereinander positionierter Testmassen, wenn zwischen sie eine große Masse (Quecksilber) eingefügt wird;<ref name="SpeakeQuinn2014" />
Übertragung von Vibrationen von einer in Schwingung versetzten Masse auf eine andere.<ref name="Dual" />

Siehe auch

Gaußsche Gravitationskonstante

Literatur

Venzo de Sabbata: The gravitational constant – generalized gravitational theories and experiments. Kluwer Academic, Dordrecht 2004, ISBN 1-4020-1955-6.
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Weblinks

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Frank Grotelüschen: Gravitationskonstante. Die Schwere der Schwerkraft. Deutschlandfunk.de, 28. September 2014.

Einzelnachweise

<references> <ref name="Cavendish"> Henry Cavendish: Experiments to determine the Density of the Earth. Phil. Trans. R. Soc. B 88, 469–526 (1798) (PDF) (englisch) </ref> <ref name="CODATAbg"> {{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}| |}}}}{{#if:|{{{autor}}}: }}{{#if:|{{#if:CODATA Recommended Values: Newtonian constant of gravitation|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=CODATA Recommended Values: Newtonian constant of gravitation}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?bg%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=CODATA Recommended Values: Newtonian constant of gravitation}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?bg}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=CODATA Recommended Values: Newtonian constant of gravitation}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:National Institute of Standards and Technology{{#if: 2024-06-10 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

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