Graßmann-Plücker-Relation
Die Graßmann-Plücker-Relationen beschreiben Beziehungen zwischen Determinanten mit teilweise übereinstimmenden Spalten.
Definitionen und Sätze
Allgemeine Form
Eine allgemeine Graßmann-Plücker-Relation hat die Form
- <math>\sum_{i=1}^{r+1}(-1)^i\cdot\det(A_1,\dots,A_{r-1},B_i)\cdot\det(B_1,\dots,B_{i-1},B_{i+1},\dots,B_{r+1})=0</math>
wobei <math>A_1,\dots,A_{r-1},B_1,\dots,B_{r+1}</math> Vektoren in einem r-dimensionalen Vektorraum sind, die die Spalten der Matrizen bilden, deren Determinanten berechnet werden.<ref>Geometriekalküle, S. 141 ff.</ref>
Die Dimension des zugrundeliegenden Vektorraums wird häufig als Rang bezeichnet (und daher hier als r abgekürzt). In Fällen, in denen die Spalten homogene Koordinaten von Punkten darstellen, liegen diese Punkte in einem projektiven Raum eine Dimension niedriger.
Konkrete Form für niedrige Dimensionen
In Rang 2 hat die Formel 3 Summanden und verwendet 4 Vektoren A bis D:
- <math>\det(A,B)\cdot\det(C,D) - \det(A,C)\cdot\det(B,D) + \det(A,D)\cdot\det(B,C) = 0</math>
In Rang 3 hat die Formel 4 Summanden und verwendet 6 Vektoren A bis F:
- <math>\det(A,B,C)\cdot\det(D,E,F) - \det(A,B,D)\cdot\det(C,E,F) + \det(A,B,E)\cdot\det(C,D,F) - \det(A,B,F)\cdot\det(C,D,E) = 0</math>
Kurzer, konzeptioneller Beweis
Wir fixieren <math>A_1,\dots,A_{r-1}</math> und betrachten die Abbildung
- <math>(B_1,\dots,B_{r+1}) \mapsto \text{ die linke Seite der Graßmann-Plücker-Relation}</math>
Diese Abbildung ist offenbar multilinear (d. h. linear in jedem <math>B_i</math> separat). Außerdem wird die rechte Seite null, wenn es <math>j\neq k</math> gibt mit <math>B_j=B_k</math>, denn dann sind nur die Summanden mit <math>i=j</math> und <math>i=k</math> möglicherweise ungleich null, und sie heben einander weg. Das heißt, dass die Abbildung alternierend ist. Ein grundlegender Satz der linearen Algebra besagt, dass eine alternierende multilineare Abbildung von r+1 Vektoren auf einem r-dimensionalen Vektorraum identisch Null sein muss. Das ist gerade die Graßmann-Plücker-Relation.
Langer Beweis
Falls alle vorkommenden Summanden 0 sind, ist die Gleichung trivialerweise erfüllt. Nehmen wir also an, dass einer der Summanden von 0 verschieden ist. O.B.d.A. sei dies der erste Summand, da wir die Vektoren der beiden Mengen A und B beliebig umsortieren können. Der erste Summand besteht also aus zwei Matrizen, deren Determinanten von 0 verschieden sind.
Bezeichnen wir die Matrix in der ersten Determinante mit M und die zweite mit N.
- <math>M=(A_1,\dots,A_{r-1},B_1)\quad N=(B_2,\dots,B_{r+1})</math>
Multipliziert man alle vorkommenden Matrizen mit der inversen Matrix <math>M^{-1}</math>, so wird jede Determinante mit dem Faktor <math>\det(M^{-1})\neq0</math> multipliziert, die gesamte Gleichung also mit dem Quadrat davon. Diesen Faktor kann man ausklammern und aus der Gleichung ziehen. Da <math>M^{-1}M</math> die Einheitsmatrix ist, kann man also o. B. d. A. annehmen, dass die erste Matrix die Einheitsmatrix ist.
In diesem Fall gilt <math>A_i = e_i</math> (für <math>i=1,\dots,(r-1)</math>) und <math>B_1 = e_r</math>.
- <math>\sum_{i=1}^{r+1}(-1)^i\cdot\det(e_1,\dots,e_{r-1},B_i)\cdot\det(B_1,\dots,B_{i-1},B_{i+1},\dots,B_{r+1})=</math>
- <math>\det(E_r)\cdot\det(B_2,\dots,B_{r+1})+\sum_{i=2}^{r+1}(-1)^i\cdot\det(e_1,\dots,e_{r-1},B_i)\cdot\det(e_r,\dots,B_{i-1},B_{i+1},\dots,B_{r+1})=</math>
- <math>\det(N)+\sum_{i=2}^{r+1}(-1)^i\cdot n_{r,(i-1)}\cdot\det(N_{r,(i-1)})=</math>
- <math>\det(N)-\det(N) = 0</math>
Dabei wird die Summe als Entwicklung der Determinante nach der letzten Zeile aufgefasst. Der Eintrag <math>n_{r,(i-1)}</math>, der in der Matrix <math>N</math> in der letzten Zeile <math>r</math> und in der Spalte <math>i</math> steht, entspricht dabei der letzten Komponente des Vektors <math>B_i</math>, da <math>N</math> mit <math>B_2</math> anfängt. Die Matrix <math>N_{r,(i-1)}</math> ist die Untermatrix, wenn man den Vektor <math>B_i</math> und die letzte Zeile entfernt. Diese Untermatrizen ergeben sich durch Entwicklung der zweiten Determinante nach der ersten Spalte.<ref>Geometriekalküle, S. 142 f.</ref>
Anwendungen
- Die Graßmann-Plücker-Relationen gehören zu den Syzygien. Sie können verwendet werden, um Beweise (etwa von geometrischen Schließungssätzen) zu formulieren.
- Orientierte Matroide können dadurch charakterisiert werden, dass sie in keinem offensichtlichen Widerspruch zu den Graßmann-Plücker-Relationen stehen.
- Graßmann-Plücker-Koordinaten, die zur Beschreibung geometrischer Objekte in höherdimensionalen projektiven Räumen verwendet werden, müssen diese Relationen erfüllen, um konsistent zu sein.
Siehe auch
Literatur
- Hermann Graßmann: Die lineale Ausdehnungslehre. 1. Auflage. 1844 (uni-potsdam.de [PDF; 11,0 MB]).
- Jürgen Richter-Gebert und Thorsten Orendt: Geometriekalküle. 1. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-642-02529-7.
Einzelnachweise
<references />