Grüblersche Gleichung
Die Grüblerschen Gleichungen wurden 1917 und 1918 fast gleichzeitig und unabhängig voneinander sowohl von Martin Fürchtegott Grübler (1851–1935) als auch von Maurice d’Ocagne aufgestellt.<ref>Friedrich Schmelz, Erich Aucktor: Gelenke und Gelenkwellen: Berechnung, Gestaltung, Anwendungen, 1988, Springer-Verlag, ISBN 3540417591</ref><ref>Martin Fürchtegott Grübler: Getriebelehre. Eine Theorie des Zwanglaufes und der ebenen Mechanismen. VDM Verlag, 2007, ISBN 3836404265</ref> Sie werden in der Technik verwendet, um die Beweglichkeit von Getrieben – ausgedrückt als deren Laufgrad – zu ermitteln. Für die Zwangläufigkeit muss der Laufgrad abhängig von der Zahl der Antriebe einen bestimmten Wert haben. Bei seiner Ermittlung werden die Anzahl und die Beweglichkeiten der die Getriebeteile verbindenden Gelenke im Verhältnis zur Anzahl der Glieder betrachtet. Zu unterscheiden ist zudem, ob diese Bewegungen in der Ebene (ebene Getriebe), auf einer gekrümmten (sphärischen) Fläche (sphärische Getriebe) oder beliebig im Raum (räumliche Getriebe) stattfinden.<ref name="Jung">Denis Jung: Formelsammlung Getriebelehre, Seite 5 (<templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />{{#if:
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}})</ref>
Grüblersche Gleichung
Die allgemeine Form der Grüblerschen Gleichung lautet:
- <math>F = \ T\cdot (n-1-g) + \sum_{i=1}^g b_i </math><ref name="Jung"/>
- <math>F = \ T\cdot (n-1-g) + c + 2 \cdot d + 3 \cdot e</math>
Beide Gleichungen sind gleichwertig. Dabei bedeuten
- F: Laufgrad
- T: Typ des Getriebes (T=6 für räumliches, T=3 für sphärisches oder ebenes Getriebe)
- n: Anzahl der Getriebeglieder (inklusive des Gestells)<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
- g: Anzahl der Gelenke
- bi: Beweglichkeit eines einzelnen Gelenks i (bi = 1, 2, …)
- c: Anzahl der Gelenke mit Beweglichkeit bi = 1 (z. B. Dreh- oder Schubgelenk)
- d: Anzahl der Gelenke mit Beweglichkeit bi = 2 (z. B. Wälzen und Gleiten an den Berührungsstellen von Zahnradflanken oder kombiniertes Schub-Drehlager)
- e: Anzahl der Gelenke mit Beweglichkeit bi = 3 (z. B. 3 Drehungen des Kugelgelenks).
Räumliches Getriebe
T = 6<ref name = Jung/>
- <math>F = \ 6\cdot (n-1-g) + \sum_{i=1}^g b_i</math>
- <math>F = \ 6\cdot (n-1-g) + c + 2 \cdot d + 3 \cdot e</math>
- <math>F = \ 6\cdot (n-1) - 5 \cdot c - 4 \cdot d - 3 \cdot e</math>
Die drei Gleichungen sind gleichwertig.
Ebenes und sphärisches Getriebe
T = 3<ref name = Jung/>
- <math>F = \ 3\cdot (n-1-g) + \sum_{i=1}^g b_i</math>
- <math>F = \ 3\cdot (n-1-g) + c + 2 \cdot d</math>
- <math>F = \ 3\cdot (n-1) - 2 \cdot c - d </math>
Die drei Gleichungen sind gleichwertig.
Werte des Laufgrads
- <math>F \geq 1</math>: Das Getriebe ist lauffähig.
- <math>F = 1</math>: Das Getriebe mit einem Antrieb ist zwangläufig.
- <math>F > 1</math>: Das Getriebe ist zwangläufig, wenn es mehr als einen Antrieb hat. F = 2: zwei Antriebe; F = 3: drei Antriebe; ...
- <math>F \leq 0</math>: Das Getriebe ist nicht lauffähig, ist starr. Ausnahme ist das sogenannte Übergeschlossene Getriebe.
Zwanglaufbedingung
Das Erfüllen der o. g. Werte für den Laufgrad wird im Besonderen als Zwanglaufbedingung bezeichnet.
Für den häufigen Fall eines ebenen, mit einem Antrieb und ausschließlich mit Gelenkent bi = 1 (d = 0 und c = g) versehenen Getriebes wird die entsprechende Grüblersche Gleichung mit eingesetztem Wert 1 für F und umgeschrieben wie folgt gebraucht:
- <math> 2 \cdot g - 3 \cdot n + 4 = 0</math><ref>Siegfried Hildebrand: Feinmechanische Bauelemente, Hanser 1968, Seite 628.
Hier wird auch auf Einschränkungen bei dieser Gleichung hingewiesen, die bei Getrieben bestehen, die Schiebegelenke enthalten.</ref>
Einzelnachweise
<references/>