Golay-Code
Vorlage:Hinweisbaustein Die Bezeichnung Golay-Code steht für zwei eng verwandte Codes, welche eine herausragende Stellung in der Codierungstheorie einnehmen. Sie sind (abgesehen von trivialen Codes und Wiederholungs-Codes) bis auf Isomorphie die einzigen beiden perfekten Codes, die mehr als einen Fehler korrigieren können.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Sie sind nach dem Schweizer Elektroingenieur Marcel J. E. Golay benannt. In beiden Fällen handelt es sich um einen quadratischen Rest-Code und damit insbesondere um einen zyklischen Code und einen linearen Code.
Der binäre Golay-Code
Der binäre Golay-Code <math>G_{23}</math> ist definiert als der binäre quadratische Reste-Code der Länge 23. Als linearer Code hat er die Parameter <math>(n,k,d) = (23,12,7)</math>. Das bedeutet, dass der Code ein 12-dimensionaler Untervektorraum des 23-dimensionalen Vektorraums <math>\mathbb{F}_2^{23}</math> mit der minimalen Hamming-Distanz 7 ist. Es folgt <math>t=\left\lfloor\tfrac{d-1}{2}\right\rfloor=3</math>. Der Code ist also 3-fehlerkorrigierend.
Die Parameter erfüllen die Gleichung
- <math> q^k \sum_{i=0}^t {n \choose i}(q-1)^i=q^n</math>
Deshalb ist der binäre Golay-Code <math>G_{23}</math> perfekt.
Der erweiterte binäre Golay-Code
Hängt man dem binären Golay-Code <math>G_{23}</math> ein Paritätsbit an, so erhält man den erweiterten binären Golay-Code <math>G_{24}</math> mit den Parametern <math>(n,k,d)=(24,12,8)</math>. Dieser Code ist doppelt gerade, d. h. alle Codewörter haben ein durch 4 teilbares Hamming-Gewicht.
Die Automorphismengruppe des erweiterten binären Golay-Codes ist die Mathieugruppe <math>M_{24}</math>, eine sporadische Gruppe.
Der ternäre Golay-Code
Der ternäre Golay-Code <math>G_{11}</math> ist definiert als der ternäre quadratische Reste-Code der Länge 11. Als linearer Code hat er die Parameter <math>(n,k,d) = (11,6,5)</math>. Das bedeutet, dass der Code ein 6-dimensionaler Untervektorraum des 11-dimensionalen Vektorraums <math>\mathbb{F}_3^{11}</math> mit dem Mindestabstand 5 ist. Es folgt <math>t=\left\lfloor\tfrac{d-1}{2}\right\rfloor=2</math>. Der Code ist also 2-fehlerkorrigierend. Auch hier erfüllen die Parameter die oben genannte Gleichung, also ist auch der ternäre Golay-Code <math>G_{11}</math> perfekt.
Einzelnachweise
<references />