Gaußsche Summe

Die Gaußsche Summe, Gaußsumme oder Gauß-Summe (nicht zu verwechseln mit der gaußschen Summenformel) ist ein bestimmter Typ einer endlichen Summe von Einheitswurzeln, typischerweise

<math>G(\chi) := G(\chi, \psi)= \sum_r \chi(r)\cdot \psi(r)</math>

Dabei geht die Summe über die Elemente <math>r</math> eines endlichen kommutativen Rings <math>R</math>, <math>\psi</math> ist ein Gruppenhomomorphismus der abelschen Gruppe <math>R^+</math> in den Einheitskreis und <math>\chi</math> ist ein Gruppenhomomorphismus der Einheitengruppe <math>R^\times</math> in den Einheitskreis, fortgesetzt (durch den Wert 0) auf Nichteinheiten. Solche Summen sind in der Zahlentheorie allgegenwärtig. Sie finden z. B. Verwendung bei den funktionalen Gleichungen der Dirichletschen L-Funktion, wo für einen Dirichlet-Charakter <math>\chi</math> die Gleichung in der Beziehung zwischen <math>L(s, \chi)</math> und <math>L(1-s, \chi^*)</math> den Faktor

<math>\frac{G(\chi)}{|G(\chi)|}</math>

verwendet, wobei <math>\chi^*</math> die komplex Konjugierte von <math>\chi</math> ist.

Ursprünglich betrachtete Carl Friedrich Gauß die quadratische Gaußsche Summe mit <math>R</math> als einem Restklassenkörper modulo einer ungeraden Primzahl <math>p</math> und <math>\chi</math> als Legendre-Symbol, dem quadratischen Restklassencharakter modulo <math>p</math>. Gauß bewies, dass <math>G(\chi) = \sqrt{p}</math> oder <math>G(\chi) = i\sqrt{p}</math> gilt, je nachdem, ob <math>p</math> kongruent zu 1 oder 3 modulo 4 ist.

Eine alternative Form dieser Gaußschen Summe ist:

<math>\sum^{p-1}_{r=0} e^{\frac{2 \pi i}{p} r^2}</math>

Quadratische Gaußsche Summen sind mit der Theorie der Thetafunktionen eng verbunden.

Die allgemeine Theorie der Gaußschen Summen wurde im frühen 19. Jahrhundert, unter Verwendung der Jacobi-Summen und deren Primzahlenzerlegung in Kreisteilungskörpern, entwickelt. Summen über den Mengen, wo <math>\chi</math> einen bestimmten Wert annimmt, wenn der zugrundeliegende Ring der Restklassenring modulo einer ganzen Zahl <math>N</math> ist, werden durch die Theorie der Gaußschen Perioden beschrieben.

Der Absolutbetrag einer Gaußschen Summe wird üblicherweise als Anwendung des Satzes von Plancherel auf endlichen Gruppen benutzt. Im Fall, dass <math>R</math> ein Körper von <math>p</math> Elementen und <math>\chi</math> nichttrivial ist, ist dieser Betrag gleich <math>\sqrt{p}</math>. Die Bestimmung des eigentlichen Wertes von allgemeinen Gaußschen Summen aus dem Ergebnis von Gauß für den quadratischen Fall ist ein lange ungelöstes Problem. Für einige Fälle siehe Kummer-Summe.

Siehe auch

• Satz von Stickelberger

Referenzen

• Kenneth Ireland, Michael Rosen: A Classical Introduction to Modern Number Theory (= Graduate texts in mathematics. Bd. 84). 2nd edition. Springer-Verlag, New York u. a. 1990, ISBN 0-387-97329-X.
• Bruce C. Berndt, Ronald J. Evans, Kenneth S. Williams: Gauss and Jacobi Sums (= Canadian Mathematical Society series of monographs and advanced texts. Bd. 21 = A Wiley-interscience publication). Wiley, New York NY u. a. 1998, ISBN 0-471-12807-4.