GARCH-Modelle
GARCH-Modelle (GARCH, Akronym für: Generalized AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity, {{#invoke:Vorlage:lang|full|CODE=de|SCRIPTING=Latn|SERVICE=deutsch}} verallgemeinerte autoregressive bedingte Heteroskedastizität) bzw. verallgemeinerte autoregressive Modelle mit bedingter Heteroskedastizität oder auch verallgemeinerte autoregressive bedingt heteroskedastische Zeitreihenmodelle sind stochastische Modelle zur Zeitreihenanalyse, die eine Verallgemeinerung der ARCH-Modelle (autoregressive conditional heteroscedasticity) sind. Sie werden beispielsweise in der Ökonometrie bei der Analyse der Renditen von Aktienkursen zur Modellierung des Volatilitätsclusterings verwendet. GARCH-Modelle wurden 1986 von Tim Bollerslev auf der Grundlage des ARCH-Modells von Robert F. Engle (1982) entwickelt.
Definition
Eine Zeitreihe <math>(x_t)_{t \in \Z}</math> heißt GARCH(p,q)-Zeitreihe, wenn sie rekursiv definiert ist durch<ref name="kreiss">Jens-Peter Kreiß, Georg Neuhaus: Einführung in die Zeitreihenanalyse. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2006, ISBN 3-540-25628-8, S. 298f.</ref>
- <math>
\begin{align} x_t &= \sigma_t \epsilon_t \\ \sigma_t^2 &= a_0 + a_1 x_{t-1}^2 + \dotsb + a_p x_{t-p}^2 + b_1 \sigma_{t-1}^2 + \dotsb + b_q \sigma_{t-q}^2, \end{align} </math> wobei <math>a_0, \dotsc, a_p, b_1, \dotsc, b_q</math> reelle, nichtnegative Parameter mit <math>a_p \neq 0</math> und <math>b_q \neq 0</math> sind, und der Prozess <math>(\epsilon_t)_{t\in \Z}</math> aus unabhängigen identisch verteilten Zufallsvariablen mit <math>\operatorname{E}(\epsilon_t) = 0</math> und <math>\operatorname{Var}(\epsilon_t) = 1</math> besteht.
Bei einem GARCH-Modell hängt also die bedingte Varianz <math>\sigma_t^2 = \operatorname{Var}(x_t \mid x_{t-1},x_{t-2}, \dotsc)</math> von <math>x_t</math> von ihrer eigenen Vergangenheit und der Vergangenheit der Zeitreihe ab.
Erweiterungen
T-GARCH
T-GARCH-Modelle sind keine echten GARCH-Modelle, sondern verallgemeinern diese wie folgt:
Mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit p, z. B. p=0.999, entsprechen sie dem „normalen“ GARCH und mit Wahrscheinlichkeit 1-p einem vorher festgelegten Wert. Mit diesen nicht-linearen Modellen können dann zum Beispiel Börsencrashs oder Ähnliches simuliert werden.<ref>Dissertation zu T-GARCH</ref>
COGARCH
Claudia Klüppelberg, Alexander Lindner und Ross Maller stellten 2004 eine zeitstetige Erweiterung des zeitdiskreten GARCH(1,1)-Prozesses vor. Man beginnt dafür mit den GARCH(1,1)-Gleichungen
- <math>x_t = \sigma_t \epsilon_t</math>
- <math>\sigma_t^2 = a_0 + a_1 x^2_{t-1} + b_1 \sigma^2_{t-1} = a_0 + a_1 \sigma_{t-1}^2 \epsilon_{t-1}^2 + b_1 \sigma^2_{t-1} </math>
und ersetzt die unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen <math> \epsilon_t </math> formal durch die infinitesimalen Inkremente <math> \mathrm{d}L_t </math> eines Lévy-Prozesses <math> (L_t)_{t\geq0} </math> sowie deren Quadrate <math> \epsilon^2_t </math> durch die Inkremente <math> \mathrm{d}[L,L]^\mathrm{d}_t </math>, wobei
- <math> [L,L]^\mathrm{d}_t = \sum_{s\in[0,t]} (\Delta L_t)^2,\quad t\geq0 </math>
der rein unstetige Teil des quadratischen Variationsprozesses von <math> L </math> ist. Man erhält also das System
- <math>\mathrm{d}G_t = \sigma_{t-} \,\mathrm{d}L_t</math>
- <math>\mathrm{d}\sigma_t^2 = (\beta -\eta \sigma^2_t)\,\mathrm{d}t + \varphi \sigma_{t-}^2 \,\mathrm{d}[L,L]^\mathrm{d}_t </math>
von stochastischen Differentialgleichungen, wobei sich die positiven Parameter <math> \beta </math>, <math> \eta </math> und <math> \varphi </math> aus <math> a_0 </math>, <math> a_1 </math> und <math> b_1 </math> bestimmen lassen. Hat man nun eine Anfangsbedingung <math> (G_0,\sigma^2_0) </math> gegeben, so hat das obige System eine pfadweise eindeutige Lösung <math> (G_t,\sigma^2_t)_{t\geq0} </math>, die dann als COGARCH-Modell (continuous-time GARCH) bezeichnet wird.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Siehe auch
Literatur
- T. Bollerslev: Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. In: Journal of Econometrics. Vol. 31, No. 3, 1986, S. 307–327, doi:10.1016/0304-4076(86)90063-1.
- J. Franke, W. Härdle, C. M. Hafner: Statistics of Financial Markets: An Introduction. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2008, ISBN 978-3-540-76269-0.
Einzelnachweise
<references />