G_δ-Satz von Hausdorff

Der <math>G_\delta</math>-Satz von Hausdorff ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie.<ref>Vladimir Kanovei, Walter Purkert: Mengenlehre – Historische Einführung. In: Hausdorff: Gesammelte Werke. Band 3. 2008, S. 1–40, hier S. 17; Hausdorff: Die Mengen G_δ in vollständigen Räumen. In: Hausdorff: Gesammelte Werke. Band 3. 2008, S. 443–453, hier S. 445–447.</ref> Er wurde 1924 von Felix Hausdorff in den Fundamenta Mathematicae veröffentlicht.<ref>Hausdorff: Die Mengen G_δ in vollständigen Räumen. 1924, S. 146–148.</ref> Der <math>G_\delta</math>-Satz wird von manchen Autoren<ref>Etwa Willard: General Topology. 1970, S. 179, 310.</ref> auch dem russischen Mathematiker Paul Alexandroff zugeschrieben, welcher den Satz für den separablen Fall, das heißt für den Spezialfall polnischer Räume, bewiesen hatte<ref>Hausdorff: Die Mengen G_δ in vollständigen Räumen. 1924, S. 146–148, hier S. 146.</ref>.

Formulierung des Satzes

In einem vollständigen metrischen Raum ist ein Unterraum, welcher eine <math>G_\delta</math>-Menge, also die Schnittmenge abzählbar vieler offener Teilmengen ist, stets vollständig metrisierbar.

Umkehrung

Der <math>G_\delta</math>-Satz hat eine gewisse Umkehrung in dem von Stefan Mazurkiewicz bewiesenen Satz von Mazurkiewicz<ref>Mazurkiewicz: Über Borelsche Mengen. 1916, S. 490–494.</ref><ref>Willard: General Topology. 1970, S. 179, 310–311.</ref>:

In einem metrischen Raum ist jeder vollständig metrisierbare Unterraum eine <math>G_\delta</math>-Menge.

Folgerung

Aus dem <math>G_\delta</math>-Satz folgt unmittelbar, dass die Menge der irrationalen Zahlen

<math>\R \setminus \Q = \bigcap_{q \in \Q } ({\R \setminus \{ q \} })</math>

mit der von <math>\R </math> herrührenden Unterraumtopologie vollständig metrisierbar ist.<ref>Willard: General Topology. 1970, S. 182.</ref> Konstruktiv lässt sich dies mittels der Angabe eines Homöomorphismus zum Baire-Raum zeigen.

Literatur

Originalarbeiten

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Stefan Mazurkiewicz: Über Borelsche Mengen. In: Bulletin International de l'Académie des Sciences de Cracovie, Classe des Sciences Mathématiques et Naturelles. Série A: Sciences Mathématiques. 1916, ZDB-ID 761846-3, S. 490–494.

Bücher

Felix Hausdorff: Gesammelte Werke. Einschließlich der unter dem Pseudonym Paul Mongré erschienenen philosophischen und literarischen Schriften und ausgewählter Texte aus dem Nachlaß. Band 3: Mengenlehre (1927, 1935), deskriptive Mengenlehre und Topologie. Herausgegeben von Ulrich Feigner, Horst Herrlich, Mirek Hušek, Vladimir Kanovei, Peter Koepke, Gerhard Preuß, Walter Purkert und Erhard Scholz. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-76806-7.
Stephen Willard: General Topology. Addison-Wesley, Reading MA u. a. 1970.

Einzelnachweise