Frullanische Integrale

Als frullanische Integrale werden uneigentliche Integrale vom Typ

<math>\int\limits_0^{\infty}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}\,{\rm d}x</math>

bezeichnet. Sie wurden erstmals 1821 von Giuliano Frullani in einem Brief erwähnt und 1828 veröffentlicht. Es gilt der folgende Satz:

Sei <math>f(x)</math> eine für <math>x\ge0</math> stetige Funktion mit <math>A:=f(0)</math> und dem endlichen Grenzwert <math>B:=\lim_{x\to\infty} f(x)</math>, dann gilt

<math>\int\limits_0^{\infty}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}\,{\rm d}x = (A-B)\ln\frac{b}{a}</math>.

Wichtige Beispiele ergeben sich für <math>f(x)=e^{-x}\ </math> bzw. <math>f(x)=\arctan x\ </math> mit <math>a,b>0</math>:

<math>\int\limits_0^{\infty}\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}\,{\rm d}x = \ln\frac{b}{a}</math>

<math>\int\limits_0^{\infty}\frac{\arctan(ax) - \arctan(bx)}{x}\,{\rm d}x = \frac{\pi}2 \ln\frac{a}{b}</math>

Literatur

• G. Frullani, Sopra Gli Integrali Definiti, Memorie della Società Italiana delle Scienze, Modena, XX (1828), pp. 448–467.
• T. J. Bromwich, An Introduction to the Theory of Infinite Series, Macmillan, 1908, 432–433.
• A. M. Ostrowski: On Some Generalizations of the Cauchy-Frullani Integral. In: Proceedings of the National Academy of Sciences. Band 35, Nummer 10, Oktober 1949, S. 612–616, PMID 16588938, PMC 1063092 (freier Volltext).
• Francesco G. Tricomi: On the theorem of Frullani. American Mathematical Monthly, 58, 1951, Seiten 158–164.
• A. M. Ostrowski: On Cauchy-Frullani Integrals, Commentarii Mathematici Helvetici 51 (1976), 57–91. doi:10.1007/BF02568143 (Coll. Math. Papers 349–383)
• Juan Arias-de-Reyna, On the Theorem of Frullani (PDF; 884 kB), Proc. A.M.S. 109 (1990), 165–175.
• Matthew Albano, Tewodros Amdeberhan, Erin Beyerstedt, and Victor H. Moll, The integrals in Gradshteyn and Ryzhik. Part 15: Frullani integrals (Memento vom 20. April 2016 im Internet Archive) (PDF; 106 kB), 2010, 7 Seiten.