Freudenthalscher Einhängungssatz

Der Freudenthal’sche Einhängungssatz ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie, er bildet eine Grundlage für die stabile Homotopietheorie.

Die Aussage ist die folgende:

Sei <math>n \geq 0</math> und <math>X</math> ein <math>n</math>-zusammenhängender CW-Komplex. Dann ist die von der Einhängung induzierte Abbildung

<math>\pi_r(X) \to \pi_{r+1}(\Sigma X)</math>

für <math>1\leq r \leq 2n</math> ein Isomorphismus und für <math>r=2n+1</math> surjektiv.

Für die stabilen Homotopiegruppen <math>\pi_*^s(X)</math> folgt daraus, dass

für <math>1\leq r \leq 2n</math> ein Isomorphismus und für <math>r=2n+1</math> surjektiv ist.

Verallgemeinerung: Sei <math>n \geq 0</math> und <math>X</math> ein <math>n</math>-zusammenhängender CW-Komplex. Sei <math>Y</math> ein endlicher CW-Komplex mit <math>H^q(Y)=0</math> für <math>q>2n</math>. Dann ist

<math>\left[Y,X\right]\to \left[\Sigma^kY,\Sigma^kX\right]</math>

für alle <math>k\ge 0</math> eine Bijektion zwischen den Mengen der Homotopieklassen.<ref>Milnor, John; Spanier, Edwin: Two remarks on fiber homotopy type. Pacific J. Math. 10 1960 585–590. </ref>

Literatur

Robert M. Switzer: Algebraic Topology – Homology and Homotopy. Springer, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42750-3 (Classics in Mathematics).

Weblinks

Tengren Zhang: Freudenthal Suspension Theorem

Einzelnachweise