Fixpunktsatz für ganze Funktionen
Der Fixpunktsatz für ganze Funktionen ist ein Lehrsatz der Komplexen Analysis, welcher auf eine Arbeit des französischen Mathematikers Pierre Fatou aus dem Jahr 1926 zurückgeht<ref>Fatou: Sur l’itération des fonctions transcendantes Entières. In: Acta Math. Band 47, S. 345.</ref><ref>Burckel: S. 433, 458, 559.</ref>. Er wurde von dem amerikanischen Mathematiker Paul C. Rosenbloom im Jahr 1948 wiederentdeckt<ref>Rosenbloom: L’itération des fonctions entières. In: C. R. Acad. Sci. Paris. Band 227, S. 382–383.</ref> und in der Folge weiter verallgemeinert.<ref>Rosenbloom: The fix-points of entire functions. In: Medd. Lunds Univ. Mat. Sem. Tome Supplémentaire. 1952, S. 186 ff.</ref>
Der Satz ergibt sich als Folgerung aus dem Kleinen Satz von Picard.<ref>Burckel: S. 433.</ref><ref>Remmert, Schumacher: S. 233–234.</ref>
Formulierung des Satzes
Der Satz lässt sich folgendermaßen angeben:
- Für eine jede ganze Funktion <math>f \colon \, \C \to \C</math> hat die verkettete Funktion <math>{f \circ f} \colon \, \C \to \C</math> stets einen Fixpunkt, außer für den Fall, dass <math> f </math> eine Translation der Form <math>z \mapsto f(z) = z + z_0 </math> mit <math> z_0 \in \C \setminus \{ 0 \} </math> ist.
Abgrenzung
Hingegen brauchen ganze Funktionen <math>f \colon \, \C \to \C</math> selbst keine Fixpunkte zu besitzen. Ein einfaches Beispiel hierfür liefert die Funktion <math> z \mapsto f(z) = z + e^z</math>, welche sicher „fixpunktfrei“ ist, da nämlich die komplexe Exponentialfunktion keine Nullstelle hat.
Literatur
Originalarbeiten
- Detlef Bargmann, Walter Bergweiler: Periodic points and normal families. In: Proc. Amer. Math. Soc. Band 129, 2001, S. 2881–2888 (MR1840089).
- Pierre Fatou: Sur l’itération des fonctions transcendantes Entières. In: Acta Math. Band 47, 1926, S. 337–370 (MR1555220).
- Paul C. Rosenbloom: L’itération des fonctions entières. In: C. R. Acad. Sci. Paris. Band 227, 1948, S. 382–383 (MR0026691).
- P. C. Rosenbloom: The fix-points of entire functions. In: Medd. Lunds Univ. Mat. Sem. Tome Supplémentaire. 1952, S. 186–192 (MR0051916).
Monographien
- Robert B. Burckel: An Introduction to Classical Complex Analysis. Birkhäuser Verlag, Basel [u. a.] 1979, ISBN 3-7643-0989-X.
- Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2 (= Springer-Lehrbuch – Grundwissen Mathematik). 3., neu bearbeitete Auflage. Springer Verlag, Berlin [u. a.] 2007, ISBN 978-3-540-40432-3.
Weblink
Einzelnachweise
<references />