Finsler-Mannigfaltigkeit

In der Geometrie sind Finsler-Mannigfaltigkeiten eine Verallgemeinerung riemannscher Mannigfaltigkeiten.

Sie sind nach Paul Finsler benannt.

Definition

Eine Finsler-Mannigfaltigkeit ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit <math>M</math> mit einer außerhalb des Nullschnitts glatten Funktion <math>F:TM\rightarrow \mathbb R</math> so dass für alle <math>v,w\in T_xM, x\in M</math> gilt:

<math>F(v)\ge 0</math> mit Gleichheit nur für <math>v=0</math>
<math>F(\lambda v)=\lambda F(v)</math> für alle <math>\lambda\ge 0</math>
<math>F(v+w)\le F(v)+F(w)</math>.

Hierbei bezeichnet <math>T_xM</math> den Tangentialraum der Mannigfaltigkeit <math>M</math> im Punkt <math>x \in M</math> und <math>TM</math> das Tangentialbündel von <math>M ,</math> also die disjunkte Vereinigung aller Tangentialräume.

Die Finsler-Mannigfaltigkeit heißt symmetrisch falls <math>F(-v)=F(v)</math> für alle <math>v\in T_xM, x\in M</math> gilt.

Beispiele

Normierte Vektorräume, wenn die Norm außerhalb des Nullvektors glatt ist.
Riemannsche Mannigfaltigkeiten <math>(M,g)</math>: setze <math>F(v)=\sqrt{g(v,v)}</math>.
Konvexe Mengen <math>\Omega\subset\mathbb R^n</math> mit der Hilbert-Metrik <math>d_\Omega</math>: setze <math>F(v)=\frac{d}{dt}\mid_{t=0}d_\Omega(x,x+tv)</math> für <math>v\in T_x\Omega, x\in\Omega</math>.

Länge und Volumen

Die Länge einer stetig differenzierbaren Kurve <math>\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow M</math> ist definiert durch

<math>L(\gamma)=\int_a^bF(\gamma^\prime(t))dt</math>.

Die Volumenform einer <math>n</math>-dimensionalen Finsler-Mannigfaltigkeit ist wie folgt definiert. Sei <math>x\in M</math>, <math>e_1,\ldots,e_n</math> eine Basis von <math>T_xM</math>, <math>\eta_1,\ldots,\eta_n</math> die duale Basis. Sei <math>V(x)</math> das euklidische Volumen von <math>D(x)=\left\{y\in\mathbb R^n: F(\sum_{i=1}^ny_ie_i)\le 1\right\}</math>. Die Volumenform ist dann gegeben durch

<math>B_F(x)=\frac{C(n)}{V(x)}\eta_1\wedge\ldots\wedge\eta_n</math>,

wobei <math>C(n)</math> das euklidische Volumen der Einheitskugel im <math>\mathbb R^n</math> bezeichnet. Das Busemann-Volumen einer messbaren Menge <math>A\subset M</math> ist definiert durch <math>\operatorname{vol}(A)=\int_A B_F(x)</math>.

Literatur

Hanno Rund: Differential Geometry of Finsler Spaces, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer 1959
Makoto Matsumoto: Foundations of Finsler Geometry and special Finsler Spaces, Kaiseisha Press, Japan 1986
D. Bao, S. S. Chern, Z. Shen: An introduction to Riemann-Finsler geometry. (= Graduate Texts in Mathematics. 200). Springer-Verlag, New York 2000, ISBN 0-387-98948-X.
Zhongmin Shen: Lectures on Finsler geometry. World Scientific Publishing, Singapore 2001, ISBN 981-02-4531-9.
Peter Antonelli (Hrsg.): Handbook of Finsler Geometry, 2 Bände, Kluwer 2003