Feynman-Parameter

Feynman-Parameter sind ein Hilfsmittel zur Lösung von Integralen, wie sie typischerweise in Quantenfeldtheorien bei der Berechnung von virtuellen Korrekturen, sogenannten Loop- oder Schleifen-Diagrammen auftreten. Solche Integrale über den Viererimpuls enthalten ein Produkt aus verschiedenen quadratischen Funktionen im Nenner und haben in der Regel keine „einfache“ Lösung. Bei der nach Richard Feynman benannten Lösungsmethode wird der Integrand selbst als Integral über einen zusätzlich eingeführten unphysikalischen Parameter, den Feynman-Parameter, geschrieben.<ref name="f_trick">Integral of ln(x) with Feynman's trick! YouTube, Mu Prime Math</ref> Aufgrund des Satzes von Fubini darf die Integrationsreihenfolge vertauscht werden. Indem nun zuerst die Integration über den Viererimpuls und danach die Integration über den Feynman-Parameter stattfindet, wird das Integral in eine leichter lösbare Form überführt.

Grundlagen

Die Grundüberlegung bei der Verwendung des Feynman-Parameters speziell bei den in den Quantenfeldtheorien verwendeten Integralen ist die folgende mathematische Identität

<math>\frac{1}{AB}= \frac{1}{A-B}\left(\frac{1}{B}-\frac{1}{A}\right) = \frac{1}{A-B}\int_B^A\frac{\mathrm dz}{z^2} = \int^1_0 \frac{\mathrm{d}u}{\left[uA +(1-u)B\right]^2}</math>.

Aufgrund des Satzes von Fubini gilt nun

<math>\begin{align}

\int \frac{\mathrm d^4k}{(2\pi)^4} \frac{1}{AB} &= \int \frac{\mathrm d^4k}{(2\pi)^4} \int_0^1 \mathrm du \frac{1}{\left[uA +(1-u)B\right]^2} \\ &= \int_0^1 \mathrm du \int \frac{\mathrm d^4k}{(2\pi)^4} \frac{1}{\left[uA +(1-u)B\right]^2}. \end{align}</math> Dadurch tritt nicht mehr das Produkt von <math>A</math> und <math>B</math> sondern eine Summe in dem Integral auf. Sind beides quadratische Funktionen von <math>k</math>, lässt sich das Integral durch eine lineare Substitution weiter vereinfachen und in vierdimensionalen Polarkoordinaten lösen.

Allgemeiner Fall

Für eine beliebige Anzahl Faktoren gilt mit der Delta-Distribution <math>\delta</math><ref name="kannike">Kristjan Kannike, Notes on Feynman Parametrization and the Dirac Delta Function</ref>

<math>\frac{1}{A_1 A_2 \ldots A_n}=\frac{1}{\prod A_i}=(n-1)!\int^1_0 \mathrm{d}u_1 \cdots \int^1_0 \mathrm{d}u_n \frac{\delta(1-\sum u_i)}{\left[\sum u_i A_i\right]^n}.</math>

Eine weitere Verallgemeinerung ist

<math>\frac{1}{\prod A_i^{\alpha_i}}=\frac{\Gamma(\sum \alpha_i)}{\prod \Gamma(\alpha_i)}\int^1_0 \mathrm{d}u_1 \cdots \int^1_0 \mathrm{d}u_n \frac{\delta(1 - \sum u_i)\prod u_i^{\alpha_i-1}}{\left[\sum u_i A_i\right]^{\sum \alpha_i}},</math>

wobei die Exponenten <math>\alpha_i</math> komplexe Zahlen (mit positivem Realteil) sein können.

Beispiel

Im Folgenden soll das Integral

<math>I = \int\frac{\mathrm d^4 k}{(2\pi)^4} \frac{1}{(k-p)^2 (k^2-m^2)}</math>

berechnet werden. Mithilfe der Feynman-Parameter kann dieses Integral zu

<math>I = \int_0^1 \mathrm du \int_0^1\mathrm dv \int \frac{\mathrm d^4k}{(2\pi)^4} \frac{\delta(u+v-1)}{[k^2 - 2u k\cdot p - vm^2]^2}</math>

umgeformt werden (der Einfachheit halber sei <math>p^2 = 0</math>). Eine Variablentransformation <math>l = k - up</math> mit <math>\mathrm dk = \mathrm dl</math> entfernt den in <math>k</math> linearen Term im Nenner. Nach Übergang mittels einer Wick-Rotation und der anschließenden Verwendung vierdimensionaler Kugelkoordinaten ergibt sich

<math>I = \frac{2\mathrm i \pi^2}{(2\pi)^4} \int_0^1 \mathrm du \int_0^1 \mathrm dv \delta(u+v-1) \int_0^\infty \mathrm dr \frac{r^3}{(r^2 + vm^2)^2},</math>

wobei die verbleibenden Integrale elementar auswertbar sind. Für das Integral über <math>r</math> muss zur Berechnung noch ein Regularisierungsschema gewählt werden, da es sonst divergiert.

Literatur

Michael D. Peskin und Daniel V. Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory, Perseus Books Publishing 1995, ISBN 0-201-50397-2, S. 189–195.

Einzelnachweise