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Fermatscher Polygonalzahlensatz

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Der fermatsche Polygonalzahlensatz ist ein mathematischer Satz aus der Zahlentheorie. Er besagt, dass jede natürliche Zahl als Summe von höchstens <math>n</math> n-Eckszahlen darstellbar ist. Ein bekannter Spezialfall ist der Vier-Quadrate-Satz, dem zufolge jede Zahl als Summe von vier Quadratzahlen geschrieben werden kann. Ein Beispiel:

<math>310 = 17^2 + 4^2 + 2^2 + 1^2 = 289 + 16 + 4 + 1</math>

Der fermatsche Polygonalzahlensatz ist nach Pierre de Fermat benannt, von dem folgendes Zitat stammt:

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}} Ein solches Buch hat Fermat jedoch nie veröffentlicht. Joseph Louis Lagrange bewies 1770 den Spezialfall des Vier-Quadrate-Satzes<ref>Joseph Louis Lagrange: <templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />{{#if:20171109080841 

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            }} 
       }}
  }} In: Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres, 1770. Berlin 1772, S. 123–133.</ref> und Carl Friedrich Gauß 1796 (unveröffentlicht, er gab aber Beweise für den Fall der Quadrate und Kuben in seinen Disquisitiones arithmeticae) und Legendre (1798) den Spezialfall für Dreieckszahlen.<ref>Am 10. Juli 1796 schrieb Gauß in sein Tagebuch: „EYPHKA num = Δ + Δ + Δ“. Ein Beweis findet sich in Hermann Maser (Hrsg.): Carl Friedrich Gauss’ Untersuchungen über Höhere Arithmetik. Berlin: Springer, 1889, S. 333–334, Art. 293.</ref> Der Beweis des vollständigen Satzes gelang jedoch erst Augustin Louis Cauchy im Jahr 1815.<ref>Augustin Louis Cauchy: Démonstration du théorème général de Fermat sur les nombres polygones. In: Mémoires de la classe des sciences mathématiques et physiques de l’Institut de France 14 (1813–1815), S. 177–220.</ref> Der Beweis von Cauchy galt damals als Sensation und machte ihn berühmt.<ref>Bruno Belhoste: Augustin-Louis Cauchy. A Biography. New York: Springer, 1991, S. 46.</ref>

Beweisstruktur

Für den Beweis des Fermatschen Polygonalzahlensatzes werden zunächst die Beweise des Dreieckszahlensatzes sowie des Vier-Quadrate-Satzes vorausgesetzt. Für <math>n>4</math> wird nun das Lemma von Cauchy bewiesen, welches besagt, dass für <math>a,b \in \mathbb{N^u}</math> mit <math>b^2<4a</math> und <math>3a<b^2+2b+4</math> <math>x,y,z,u</math> existieren mit folgenden Eigenschaften:

<math display="block">a=x^2+y^2+z^2+u^2 \text{ und } b=x+y+z+u</math>

Mithilfe dieses Satzes kann nun der Fermatsche Polygonalzahlensatz bewiesen werden, indem Bedingungen aufgestellt werden, unter denen die Voraussetzungen des Cauchyschen Lemmas gelten.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Weblinks

Einzelnachweise

<references />

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