Fejér-Polynome
In der Mathematik ist für eine <math>2\pi</math>-periodische, stetige Funktion <math>f</math>, das heißt <math>f \in C_{2\pi}</math>, das <math>n</math>-te Fejér-Polynom <math>\sigma_n(f)</math> definiert durch
- <math>
\sigma_n(f)(x) := \sum_{k=-n}^{n} \left(1 - \frac{\left|k\right|}{n+1}\right) \hat f (k) \,\mathrm e^{ikx}, </math>
wobei
- <math>
\hat f(k) := \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,\mathrm e^{-ikt} \mathrm{d}t </math>
der <math>k</math>-te Fourier-Koeffizient ist. Mit Hilfe dieser trigonometrischen Polynome lieferte Fejér einen konstruktiven Beweis für den Satz von Weierstraß, der aussagt, dass jede <math>2\pi</math>-periodische, stetige Funktion durch trigonometrische Polynome gleichmäßig approximiert werden kann. Diese Aussage wird auch als Satz von Fejér bezeichnet.
Konvergenzaussagen – Satz von Fejér
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Fejér führte den Beweis über das (erste) arithmetische Mittel der Partialsummen der Fourierreihe
- <math>
\sigma_n(f)(x) = \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n} S_k(f)(x), </math>
wobei
- <math>
S_k(f)(x) := \sum_{j=-k}^{k} \hat f (j) \,\mathrm e^{ijx} </math>
die <math>k</math>-te Partialsumme ist, indem er zeigte:
Für jede <math>2\pi</math>-periodische, stetige Funktion <math>f</math> konvergiert die Folge der Fejér-Polynome <math>\sigma_n(f)</math> gleichmäßig gegen <math>f</math>, d. h.
- <math>
f \in C_{2\pi} \Rightarrow \lim\limits_{n \to \infty} \| \sigma_n(f) - f \|_{C_{2\pi}} = \lim\limits_{n \to \infty} \left(\max\limits_{x\in [-\pi,\pi]} |\sigma_n(f)(x) - f(x)|\right) = 0. </math>
Fejér-Kern
Der n-te Fejér-Kern <math>\sigma_n(x)</math> ist definiert durch
- <math>
\sigma_n(x) := \sum_{k=-n}^{n} \left(1 - \frac{\left|k\right|}{n+1}\right) \mathrm e^{ikx} </math>.
Faltung
Die Fejér-Polynome lassen sich als Faltung mit dem Fejér-Kern darstellen. Es gilt
- <math>
\sigma_n(f)(x) = (\sigma_n * f)(x) := \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sigma_n(x - t) \mathrm{d}t </math>
Arithmetisches Mittel des Dirichlet-Kerns
Aus der Interpretation der Fejér-Polynome als (erstes) arithmetisches Mittel der Partialsummen folgt die Darstellung des Fejér-Kerns als arithmetisches Mittel des Dirichlet-Kerns
- <math>
\sigma_n(x) = \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n} D_k(x) </math>
wobei der Dirichlet-Kern definiert ist über
- <math>
D_n(x) := \sum_{k=-n}^{n} \mathrm e^{ikx} </math>
Positiver reeller Kern
Neben der Summenschreibweise über komplexe Funktionen lässt sich der Fejér-Kern auch in einer geschlossenen Form darstellen. Hierzu wird verwendet, dass der Dirichlet-Kern die Darstellung
- <math>
D_k(x) = 1 +2\sum_{j=1}^k \cos(j x) = \frac{\sin\left(\frac{2k+1}{2}x\right)}{\sin(x/2)} </math> besitzt. Mit Hilfe des obigen Zusammenhangs des Fejér-Kerns mit den Dirichlet-Kernen und der Regel
- <math>
\sum_{k=0}^n \sin\left(\frac{2k+1}{2}x\right) = \frac{\sin^2\left(\frac{n+1}{2}x\right)}{\sin\left(x/2\right)} </math> ergibt sich die folgende geschlossene Darstellung des Fejér-Kerns:
- <math>
\sigma_n(x) = \begin{cases}
\frac{1}{n+1} \left(\frac{\sin\left(\frac{n+1}{2}x\right)}{\sin(\frac{x}{2})}\right)^2, &x \notin 2\pi\Z, \\
n + 1, &x \in 2 \pi \Z.
\end{cases} </math>
Aufgrund der daraus ersichtlichen Positivität des Fejér-Kern kann für den Nachweis der gleichmäßigen Konvergenz der Fejér-Polynome der Satz von Bohman-Korowkin angewendet werden, der besagt, dass aus der gleichmäßigen Konvergenz der Testfunktionen <math>\sin</math> und <math>\cos</math> die gleichmäßige Konvergenz für alle Funktionen <math>f \in C_{2\pi}</math> folgt.
Konvergenz in anderen Funktionenräumen
Auch für nichtstetige Funktionen anderer Funktionenräume, z. B. der Lebesgue-integrierbaren Funktionen, lassen sich Aussagen zur Approximierbarkeit angeben.
Quantitative Aussagen
Für Hölder-stetige Funktionen <math>f</math> lassen sich direkte Abschätzungen zum Konvergenzverhalten der Fejér-Polynome angeben.
Gehört <math>f</math> für ein <math>0 < \alpha \leq 1</math> zur Klasse der Hölder-stetigen Funktionen <math>C^\alpha</math>, d. h.
- <math>
\|f(\cdot + h) - f(\cdot)\|_{C_{2\pi}} = \mathcal O(|h|^\alpha) \text{ für } h \to 0, </math>
so gelten die folgenden quantitativen Approximationsaussagen:
- <math>
\|\sigma_n(f) - f\|_{C_{2\pi}} = \begin{cases}
\mathcal O(n^{-\alpha}), &0 < \alpha < 1, \\
\mathcal O\left(\frac{\log(n)}{n}\right), & \alpha = 1,
\end{cases} \text{ für } n \to \infty.
</math>
Literatur
- N. I. Achieser: Vorlesungen über Approximationstheorie. Akademie-Verlag, Berlin 1953.
- P. L. Butzer, R. J. Nessel: Fourier Analysis And Approximation, Vol. 1: One-Dimensional Theory. Birkhäuser, Basel 1971.
- Leopold Fejér: Über trigonometrische Polynome. In: J. Reine Angew. Math. Band 146, 1916, Seiten 53–82.
- Leopold Fejér: Gestaltliches über die Partialsummen und ihre Mittelwerte bei der Fourierreihe und der Potenzreihe. In: Z. Angew. Math. Mech. Band 13, 1933, Seiten 80–88.
- Antoni Zygmund: Trigonometric Series. Cambridge University Press, Cambridge 1968, 2nd Edition.