Fatou-Bieberbach-Gebiet

Ein Fatou-Bieberbach-Gebiet ist ein echtes Teilgebiet von <math>\Complex^n</math>, welches biholomorph äquivalent ist zu <math>\Complex^n</math>, d. h., ein offenes <math>\Omega \subset \Complex^n \; (\Omega \neq \Complex^n)</math> heißt Fatou-Bieberbach-Gebiet, falls es eine bijektive holomorphe Funktion <math>f\colon\Omega \rightarrow \Complex^n</math> und eine holomorphe Umkehrfunktion <math>f^{-1}\colon\Complex^n \rightarrow \Omega</math> gibt.

Geschichte

Als Konsequenz des Riemannschen Abbildungssatzes gibt es im Falle <math>n = 1</math> keine Fatou-Bieberbach-Gebiete. In höheren Dimensionen wurden Fatou-Bieberbach-Gebiete erstmals in den 1920er-Jahren von Pierre Fatou und Ludwig Bieberbach entdeckt und später nach ihren Entdeckern benannt. Seit den 1980er-Jahren sind Fatou-Bieberbach-Gebiete wieder Gegenstand der mathematischen Forschung.

Quellen

• Pierre Fatou: Sur les fonctions méromorphes de deux variables, Sur certaines fonctions uniformes de deux variables. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, Band 175 (1922), S. 862–865, 1030–1033.
• Ludwig Bieberbach: Beispiel zweier ganzer Funktionen zweier komplexer Variablen, welche eine schlichte volumtreue Abbildung des <math>\mathcal{R}_4</math> auf einen Teil seiner selbst vermitteln. Preussische Akademie der Wissenschaften. Sitzungsberichte, 1933, S. 476–479.
• J.-P. Rosay, W. Rudin: Holomorphic maps from <math>\Complex^n</math> to <math>\Complex^n</math>. Transactions of the American Mathematical Society, Band 310 (1988), Heft 1, S. 47–86.