Fahne (Mathematik)
Als Fahne wird in der linearen Algebra eine Folge von Vektorräumen aufsteigender Dimension mit einer echten Teilmengenbeziehung bezeichnet. Der Name stammt daher, dass die ersten drei Vektorräume – Punkt, Gerade, Ebene – wie eine gewöhnliche Fahne angeordnet werden können.
Definition
Eine Fahne in einem (meist endlichdimensionalen) Vektorraum <math>V</math> über einem Körper <math>K</math> ist eine endliche Folge <math>(V_0,V_1,\ldots,V_n)</math> von Untervektorräumen von <math>V</math> mit <math>V_0=0</math> und <math>V_n=V</math>, so dass jeder Unterraum im nachfolgenden echt enthalten ist, d. h.
- <math>V_0 \subsetneq V_1 \subsetneq \ldots \subsetneq V_n.</math>
Ist <math>\dim V=n</math> oder äquivalent dazu <math>\dim V_i = i</math> für <math>i=0,\ldots,n</math>, so spricht man von einer vollständigen Fahne. Manche Autoren beschäftigen sich nur mit vollständigen Fahnen und sprechen dann von Fahnen schlechthin.
Beispiele
Ist <math>(v_1,\ldots,v_d)</math> eine Basis von <math>V</math>, so ist durch
- <math>V_i=\langle v_k\mid 1\leq k\leq i\rangle_K</math>
eine vollständige Fahne definiert. Das Datum der Fahne ist jedoch schwächer, verschiedene Basen können dieselbe Fahne erzeugen.
Typ von Fahnen
Sind <math>(V_i)_{i=0,\ldots,n}</math> und <math>(W_i)_{i=0,\ldots,n}</math> zwei Fahnen, die aus derselben Anzahl von Unterräumen bestehen und für die
- <math>\dim V_i=\dim W_i</math> für <math>i=0,\ldots,n</math>
gilt, so sagt man, dass <math>(V_i)_i</math> und <math>(W_i)_i</math> denselben Typ haben. Die Typen von Fahnen sind durch die Partitionen der Zahl <math>\dim V</math> bestimmt. Zwei Fahnen vom selben Typ gehen stets durch einen Automorphismus von <math>V</math> auseinander hervor.
Verwendung
Ist <math>A</math> ein Endomorphismus von <math>V</math>, und gilt
- <math>A\cdot V_i\subseteq V_i,</math> für alle <math>i</math>
so heißt die Fahne unter <math>A</math> invariant oder stabil. Ist die Fahne vollständig, so impliziert die Existenz einer invarianten Fahne, dass es eine Basis von <math>V</math> gibt, bezüglich der <math>A</math> durch eine obere Dreiecksmatrix dargestellt wird (Trigonalisierung). Für allgemeinere Fahnen ergibt sich eine Blockdreiecksform, die durch den Typ der Fahne bestimmt ist.
Verwandte Begriffe
- Die Menge aller Automorphismen von <math>V</math>, die eine gegebene Fahne stabilisieren, bildet eine parabolische Untergruppe von <math>\mathrm{GL}(V)</math>.
- Die Menge aller Fahnen eines Typs wird als Fahnenmannigfaltigkeit bezeichnet. Da <math>\mathrm{GL}(V)</math> transitiv auf der Menge aller Fahnen eines Typs operiert, lassen sich Fahnenmannigfaltigkeiten als homogene Räume von <math>\mathrm{GL}(V)</math> darstellen.
Literatur
- Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-97217-3.
- {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}{{#if:
| {{#if: Vorlage:Cite book/ParamBool | Vorlage:Toter Link/archivebot | Vorlage:Webarchiv/archiv-bot }}
}}{{#invoke:TemplatePar|check
|all = title= |opt = vauthors= author= author-link= authorlink= author1= author-link1= author1-link= first= last= first1= last1= first2= last2= author2= first3= last3= author3= first4= last4= author4= first5= last5= author5= first6= last6= author6= first7= last7= author7= first8= last8= author8= others= coauthors= script-title= trans-title= orig-date= orig-year= chapter= chapter-url= editor= editor-first= editor-last= editor-first1= editor-last1= editor-first2= editor-last2= editor-first3= editor-last3= editor-link= editor-link1= language= format= others= series= issue= number= edition= volume= publisher= location= date= year= isbn= page= at= pages= arxiv= doi= jstor= bibcode= pmc= pmid= lccn= oclc= id= url= url-status= access-date= accessdate= archive-url= archiveurl= archive-date= archivedate= quote= url-access= ref= coauthors= origyear= archivebot= offline= |cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Cite book |errNS = 0 |template = Vorlage:Cite book |format = |preview = 1
}}Vorlage:Cite book/URLVorlage:Cite book/Meldung2{{#if: Vorlage:Cite book/ParamBool | Vorlage:Cite book/Meldung }}{{#if: Vorlage:Cite book/ParamBool
}}{{#if: Vorlage:Cite book/ParamBool
}}{{#if: Vorlage:Cite book/ParamBool
| Vorlage:Cite book/Meldung
}}{{#if: Vorlage:Cite book/ParamBool
}}{{#if: Vorlage:Cite book/ParamBool
}}{{#if: Vorlage:Cite book/ParamBool
}}{{#if: Vorlage:Cite book/ParamBool
| Vorlage:Cite book/Meldung
}}{{#ifexpr: {{#ifeq:Shafarevich|^^|0|1}}{{#ifeq:^^|^^||+1}}{{#ifeq:^^|^^||+1}}{{#ifeq:^^|^^||+1}} > 1
| Vorlage:Cite book/Meldung
}}{{#ifexpr: {{#ifeq:^^|^^|0|1}}{{#ifeq:A. O. Remizov|^^||+1}} > 1
| Vorlage:Cite book/Meldung
}}{{#ifexpr: {{#ifeq:^^|^^|0|1}}{{#ifeq:^^|^^||+1}} > 1
| Vorlage:Cite book/Meldung
}}{{#ifexpr: {{#ifeq:^^|^^|0|1}}{{#ifeq:^^|^^||+1}} > 1
| Vorlage:Cite book/Meldung
}}{{#ifexpr: {{#ifeq:^^|^^|0|1}}{{#ifeq:^^|^^||+1}} > 1
| Vorlage:Cite book/Meldung
}}{{#ifexpr: {{#ifeq:^^|^^|0|1}}{{#ifeq:^^|^^||+1}} > 1
| Vorlage:Cite book/Meldung
}}