Eulersche Gleichungen (Kreiseltheorie)

Die Euler’schen Kreiselgleichungen oder uneindeutig Euler’schen Gleichungen sind Bewegungsgleichungen für die Rotation eines starren Körpers. Es sind die Komponenten des für den Starrkörper in seinem Haupt­achsen­system aufgeschriebenen Drallsatzes und stellen die wichtigste Grundgleichung der Kreiseltheorie dar.

Wird der Körper einem Drehmoment ausgesetzt, entwickeln sich Kreiselwirkungen, die versuchen, die Eigendrehung mit der erzwungenen Drehung in Deckung zu bringen.<ref name="Grammel" details="S. 70"/> Die Kreiselwirkungen sind die summierten Drehmomente der Eulerkräfte und Zentrifugalkräfte an allen Massenpunkten des Körpers. Das Moment und die Kreiselwirkungen befinden sich im dynamischen Gleichgewicht, was die Kreiselgleichungen ausdrücken:

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<math>\begin{align}

M_1 =& \Theta_1\dot{\omega}_1+(\Theta_3-\Theta_2)\omega_2\omega_3 = \dot L_1+\left(\frac{1}{\Theta_2}-\frac{1}{\Theta_3}\right)L_2L_3 \\ M_2 =& \Theta_2\dot{\omega}_2+(\Theta_1-\Theta_3)\omega_3\omega_1 = \dot L_2+\left(\frac{1}{\Theta_3}-\frac{1}{\Theta_1}\right)L_3L_1 \\ M_3 =& \Theta_3\dot{\omega}_3+(\Theta_2-\Theta_1)\omega_1\omega_2 = \dot L_3+\left(\frac{1}{\Theta_1}-\frac{1}{\Theta_2}\right)L_1L_2 \end{align}</math>

Darin sind jeweils für <math>k = 1, 2, 3</math>

<math>M_k</math> die von außen angreifenden Drehmomente,

<math>\Theta_k</math> die Hauptträgheitsmomente,

<math>L_k = \Theta_k \omega_k</math> die Drehimpulse,

<math>\omega_k</math> die Winkelgeschwindigkeiten und

<math>\dot\omega_k</math> die Winkelbeschleunigungen

im Hauptachsensystem. Gelegentlich wird auch die dazu gehörige Vektorgleichung

<math>\vec M=\mathbf{\Theta}\cdot\dot{\vec\omega}

+\vec\omega\times(\mathbf{\Theta}\cdot\vec\omega) = \frac{\mathrm{d}_r}{\mathrm{d}t}\vec L +(\mathbf{\Theta}^{-1}\cdot\vec L)\times\vec L </math>

mit dem Trägheitstensor <math>\mathbf{\Theta}</math> als Euler’sche Kreiselgleichung angegeben. Hier bildet „·“ die Vektortransformation, „ד das Kreuzprodukt und <math>\tfrac{\mathrm{d}_r}{\mathrm{d}t}</math> die relative Zeitableitung im Haupt­achsen­system.

Die Drehmomente, Hauptträgheitsmomente und Drehimpulse werden mit einem Bezugspunkt berechnet, für den sich der Massenmittelpunkt oder ein unbeschleunigter, in einem Inertialsystem ruhender Stützpunkt eignen, siehe Drallsatz am starren Körper.

Die ersten Summanden auf den rechten Seiten, bestehend aus den Winkelbeschleunigungen und Drehimpulsänderungen, resultieren aus den Kreiselwirkungen der Euler-Kräfte und die anderen, in den Winkelgeschwindigkeiten und Drehimpulsen quadratischen Terme berücksichtigen die Kreiselwirkungen der Zentrifugalkräfte. Wenn die Bewegung bekannt ist, dann können aus diesen Gleichungen die Momente berechnet werden, die im Bezugspunkt eingeleitet werden müssen, damit der Körper die vorgegebene Bewegung ausführt.

Die Kreiselgleichungen wurden von Leonhard Euler 1750 aufgestellt und später zum Drallsatz weiterentwickelt.<ref name="Truesdell"/>

Herleitung

Datei:ZuEulerschenKreiselgleichungen.svg

Zur Herleitung der Eulerschen Kreiselgleichungen

Das zweite newtonsche Gesetz besagt, dass ein Massepunkt P mit infinitesimaler Masse dm am Ort Datei:Vec r.svg_P im Starrkörper durch eine infinitesimale äußere Kraft dDatei:Vec F.svg gemäß

Datei:Vec a.svg_P dm ＝ dDatei:Vec F.svg

beschleunigt wird, wo Datei:Vec a.svg_P den zum Kraftvektor parallelen Beschleunigungsvektor des Massepunkts angibt, siehe Bild. Das Kreuzprodukt mit dem Differenzvektor Datei:Vec r.svg_BP zu einem körperfesten Punkt B und Integration über den Körper liefert das äußere Moment um B

Datei:Intgl.svg Datei:Vec r.svg_BP × Datei:Vec a.svg_P dm ＝ Datei:Intgl.svg Datei:Vec r.svg_BP × dDatei:Vec F.svg ＝: Datei:Vec M.svg^(B)

denn die inneren Kräfte sind dem Drallsatz zufolge momentenfrei.

Mit der Winkelgeschwindigkeit Datei:Vec om.svg des Starrkörpers berechnet sich die Geschwindigkeit

Datei:Vec v.svg_BP ＝ Datei:Vec om.svg × Datei:Vec r.svg_BP ＝ Datei:Vec om.svg × Datei:Vec r.svg_BS + Datei:Vec om.svg × Datei:Vec r.svg_SP

wo S der Massenmittelpunkt des Starrkörpers ist. Es folgt

Datei:Vec r.svgBP × Datei:Vec a.svgP dm	＝ (Datei:Vec r.svgBP × Datei:Vec v.svgP dm)· − Datei:Vec v.svgBP × Datei:Vec v.svgP dm
	＝ (Datei:Vec r.svgBP × Datei:Vec v.svgP dm)· − Datei:Vec v.svgBP × (Datei:Vec v.svgB + Datei:Vec v.svgBP) dm
	＝ (Datei:Vec r.svgBP × Datei:Vec v.svgP dm)· − Datei:Vec v.svgBP × Datei:Vec v.svgB dm
	＝ (Datei:Vec r.svgBP × Datei:Vec v.svgP dm)· − (Datei:Vec om.svg × Datei:Vec r.svgBS) × Datei:Vec v.svgB dm − (Datei:Vec om.svg × Datei:Vec r.svgSP) × Datei:Vec v.svgB dm

Integration über den Körper liefert:

Datei:Vec M.svg(B)	＝ Datei:Intgl.svg (Datei:Vec r.svgBP × Datei:Vec v.svgP)· dm − Datei:Intgl.svg (Datei:Vec om.svg × Datei:Vec r.svgBS) × Datei:Vec v.svgB dm − Datei:Intgl.svg (Datei:Vec om.svg × Datei:Vec r.svgSP) × Datei:Vec v.svgB dm
	＝ Datei:Difft.svgDatei:Intgl.svg Datei:Vec r.svgBP × Datei:Vec v.svgP dm − (Datei:Vec om.svg × Datei:Vec r.svgBS) × Datei:Vec v.svgB Datei:Intgl.svg dm − (Datei:Vec om.svg × Datei:Intgl.svg Datei:Vec r.svgSP dm) × Datei:Vec v.svgB

wo die im Starrkörper konstanten Größen aus den Integralen herausgezogen wurden. Das erste Integral auf der rechten Steite liefert den Drehimpuls des Körpers um B und Datei:Difft.svg seine Zeitableitung. Im zweiten Term ergibt das Integral die Masse m des Körpers und das Integral im letzten Term verschwindet per Definition des Schwerpunkts S. Damit lautet der Drallsatz um B

Datei:Vec M.svg^(B) ＝ Datei:Difft.svgDatei:Vec L.svg^(B) − m (Datei:Vec om.svg × Datei:Vec r.svg_BS) × Datei:Vec v.svg_B

Der Subtrahend verschwindet in zwei bedeutsamen Fällen:<ref name="Gross"/><ref name="Dankert"/>

1. Wenn Datei:Vec v.svg_B ＝ Datei:Vec 0.svg und der Bezugspunkt B ruht, oder
2. wenn Datei:Vec r.svg_BS ＝ Datei:Vec 0.svg und der Massenmittelpunkt S als Bezugspunkt B gewählt wird.

Mit der Zerlegung Datei:Vec v.svg_P ＝ Datei:Vec v.svg_B + Datei:Vec v.svg_BP ＝ Datei:Vec v.svg_B + Datei:Vec om.svg × Datei:Vec r.svg_BP schreibt sich der Drehimpuls um B

Datei:Vec L.svg(B)	＝ Datei:Intgl.svg Datei:Vec r.svgBP × Datei:Vec v.svgP dm ＝ Datei:Intgl.svg Datei:Vec r.svgBP × (Datei:Vec v.svgB + Datei:Vec om.svg × Datei:Vec r.svgBP) dm
	＝ Datei:Intgl.svg Datei:Vec r.svgBP × Datei:Vec v.svgB dm + Datei:Intgl.svg Datei:Vec r.svgBP × (Datei:Vec om.svg × Datei:Vec r.svgBP) dm
	＝ Datei:Intgl.svg Datei:Vec r.svgBP dm × Datei:Vec v.svgB + Datei:Intgl.svg Datei:Vec r.svgBP × (Datei:Vec om.svg × Datei:Vec r.svgBP) dm

Wenn B ruht oder im Massenmittelpunkt liegt, verschwindet wieder der erste Term, und mit der Graßmann-Identität und dem dyadischen Produkt „⊗“ formt sich der zweite Term um zu

Darin ist 1 der Einheitstensor (1 · Datei:Vec om.svg ＝ Datei:Vec om.svg) und Θ^(B) der Trägheitstensor des Körpers bezüglich B. In einem körperfesten Bezugssystem ê_1,2,3 sind beim Starrkörper die Komponenten des Trägheitstensors (die Trägheitsmomente und Deviationsmomente) unveränderlich und schreibt sich bezüglich ê_1,2,3 die Zeitableitung des Drehimpulses mit der relativen Zeitableitung Datei:D dtr.svg, von der Θ^(B) unberührt bleibt:

Datei:Difft.svg Datei:Vec L.svg^(B) ＝ Datei:D dtr.svg Datei:Vec L.svg^(B) + Datei:Vec om.svg × Datei:Vec L.svg^(B) ＝ Θ^(B) · Datei:D dtr.svgDatei:Vec om.svg + Datei:Vec om.svg × (Θ^(B) · Datei:Vec om.svg)

Die relative Zeitableitung der Winkelgeschwindigkeit ist gleich ihrer Zeitableitung, denn mit

Datei:Vec om.svg ＝ Datei:Sum over i from 1 to 3.svg ω_i ê_i

ergibt sich

Datei:Vecomp.svg	＝ Datei:Sum over i from 1 to 3.svg êi Datei:Difft.svgωi + Datei:Sum over i from 1 to 3.svg ωi Datei:Difft.svgêi ＝ Datei:D dtr.svgDatei:Vec om.svg + Datei:Sum over i from 1 to 3.svg ωi Datei:Vec om.svg × êi
	＝ Datei:D dtr.svgDatei:Vec om.svg + Datei:Vec om.svg × Datei:Sum over i from 1 to 3.svg ωi êi ＝ Datei:D dtr.svgDatei:Vec om.svg + Datei:Vec om.svg × Datei:Vec om.svg ＝ Datei:D dtr.svgDatei:Vec om.svg

Alles zusammen genommen zeigt für raumfestes B oder B ＝ S

Datei:Vec M.svg^(B) ＝Datei:VecLp.svg^(B) ＝ Θ^(B) · Datei:Vecomp.svg + Datei:Vec om.svg × (Θ^(B) · Datei:Vec om.svg)

Im Hauptachsen­system hat der Trägheitstensor Diagonalgestalt, sodass dort zwischen den Komponenten der Winkelgeschwindigkeit und des Drehimpulses (sowie deren Raten) Proportionalität besteht

L_j ＝ Θ_j ω_j   für j=1,2,3

woraus sich die Euler’schen Kreiselgleichungen in der eingangs angegebenen Form ableiten.

Spezialfälle

Euler-Poisson-Gleichungen

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→ Haupt{{#if:|seite|artikel}}: [[ Euler-Poisson-Gleichungen{{#if: ||{{{titel1}}}}}]]{{#if: |{{#ifexist:{{{2}}}|{{#if: |{{#ifexist:{{{3}}}|, [[{{{2}}}{{#if: ||{{{titel2}}}}}]] und [[{{{3}}}{{#if: ||{{{titel3}}}}}]]| und [[{{{2}}}{{#if: ||{{{titel2}}}}}]]}}| und [[{{{2}}}{{#if: ||{{{titel2}}}}}]]}}|{{#if: |{{#ifexist:| und [[{{{3}}}{{#if: ||{{{titel3}}}}}]]|}}|}}|}}|}}

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Die Euler-Poisson-Gleichungen sind die spezifischen Kreiselgleichungen für den schweren Kreisel, bei dem das äußere Moment von der Schwerkraft herrührt. Die klassische Kreiseltheorie ist fast ausschließlich dem schweren Kreisel mit Stützpunkt gewidmet und es wurde viel Aufwand in das Auffinden exakter Lösungen gesteckt. Eine Auflistung einiger dieser Lösungen<ref name="Magnus"/> findet sich im Hauptartikel.

Kugelkreisel

Ein Kugelkreisel ist ein Kreisel mit drei identischen Hauptträgheitsmomenten Θ, sodass sich die Kreiselgleichungen dann auf

<math>\vec{M}=\Theta\dot{\vec\omega}</math>

reduzieren. Die Winkelbeschleunigung ist beim Kugelkreisel also parallel zum angreifenden Moment. Beim Kugelkreisel sind die Fliehkräfte im Körper immer im mechanischen Gleichgewicht. Ein Vergleich mit den Bewegungsgleichungen bei einer Translationsbewegung zeigt, dass der Kugelkreisel das genaue Analogon des Massenpunkts bei Rotationsbewegungen ist.

Ebene Bewegungen

Bei einer ebenen Bewegung um eine Hauptträgheitsachse, beispielsweise die 3-Achse, entfallen Drehungen und Momente um die 1- und 2-Achsen, und die Gleichungen reduzieren sich auf

<math>M_3=\Theta_3\ddot\varphi\,,</math>

wobei φ der Drehwinkel um die 3-Achse ist.

Lösungen der Kreiselgleichungen bei ebenen Bewegungen

Im ebenen Fall sind die Kreiselgleichungen oftmals analytisch lösbar, wofür die beiden folgenden Fälle Beispiele sind.

Anstoß einer Billardkugel

Datei:Billardstoss.png

Abb. 1: Anstoß einer Billardkugel parallel zur Tischplatte

Parallel zur Tischplatte soll eine Billardkugel mit Radius r, Masse m und Massenträgheitsmoment Θ so angestoßen werden, dass sie nicht über den Tisch rutscht, siehe Abb. 1. Es stellt sich die Frage, in welcher Höhe h über der Platte die Kraft F eingeleitet werden muss, damit für das schlupflose Rollen keine Reibkraft am Tisch notwendig ist.

Die exzentrisch an der Kugel angreifende horizontale Kraft entwickelt ein Moment M = -(h-r)F um den Massenmittelpunkt, das die Kugel gemäß der Kreiselgleichung

<math>M=-(h-r)F=\Theta\ddot\varphi</math>

in Drehung versetzt. Das Moment ist negativ, weil es entgegen der Zählrichtung des Drehwinkels φ wirkt. Außerdem beschleunigt die Kraft die Kugel gemäß dem Gesetz „Kraft gleich Masse mal Beschleunigung“:

<math>F=m\ddot x\,.</math>

Die Beschleunigung <math>\ddot x</math> ist parallel zum Tisch in Richtung der Kraft. Die Bedingung für schlupfloses Rollen

<math>\ddot x=-r\ddot\varphi</math>

schließt das Gleichungssystem für die drei Unbekannten h, φ und x ab. Damit berechnet sich

<math>-(h-r)F=\Theta\ddot\varphi=-\frac{\Theta}{r}\ddot x=-\frac{\Theta}{mr}F

\quad\rightarrow\quad h=r+\frac{\Theta}{mr} \,.</math>

Die Kraft muss demnach im Stoßmittelpunkt angreifen, damit die Kugel schlupflos rollt. Bei einer massiven homogenen Kugel ist das Massenträgheitsmoment Θ = {{#if:|2 ⁵⁄_{{{3}}}|{{#if:5|²⁄₅|{{#if:2|¹⁄₂|⁄}}}}}}mr² und somit

<math>h=\frac{7}{5}r=\frac{7}{10}d\,,</math>

wobei d = 2r der Durchmesser der Kugel ist.

Ein eine schiefe Ebene hinabrollendes Rad

Datei:Rotradebene.png

Abb. 2: Ein eine schiefe Ebene hinab rollendes Rad.

In einer ebenen Bewegung rolle ein Rad mit Radius r, Masse m und Massenträgheitsmoment Θ eine mit dem Winkel α geneigte Ebene unter Einfluss einer Schwerebeschleunigung g hinab, siehe Abb. 2. Weil sich das Rad dabei auch translatorisch bewegt, geht auch seine Masse in die Beschleunigung ein. Die Beschleunigung wächst jedoch, wenn das Massenträgheitsmoment abnimmt.

Aufgrund des schlupflosen Abrollens entsteht am Aufstandspunkt des Rades eine Reibkraft R, die das Rad in Drehung versetzt, denn es entspricht einem Moment M=-r R um den Massenmittelpunkt. Das Moment ist negativ, weil es entgegen der Zählrichtung des Drehwinkels φ arbeitet. Damit lautet die Kreiselgleichung im ebenen Fall:

<math>-r R=\Theta\ddot\varphi\,.</math>

Die auf das Rad hangabwärts wirkende Komponente F der Gewichtskraft mg hat die Größe F=mgsin(α). Ihr entgegen steht die Reibkraft, sodass nach dem zweiten newtonschen Gesetz gilt:

<math>F-R=m\ddot x

\quad\rightarrow\quad R=mg\sin(\alpha)-m\ddot x \,,</math>

worin <math>\ddot x</math> die hangabwärts zählende Beschleunigung des Rades und sin die Sinusfunktion ist. Die Bedingung für schlupfloses Rollen <math>\ddot x=-r\ddot\varphi</math> schließt das Gleichungssystem für die drei Unbekannten R, φ und x ab und es ergibt sich

<math>\ddot x=\frac{mr^2}{\Theta+mr^2}g\sin(\alpha)</math>

Ein hangabwärts, reibungsfrei rutschender Klotz erfährt die Beschleunigung <math>\ddot x=g\sin(\alpha)</math>, die größer ist als die des Rades, denn beim Rad wird ein Teil der potentiellen Energie in Rotationsenergie umgesetzt, die dann für die Translation fehlt.

Beispiel: Fliehkraftpendel

Ein bemerkenswerter Anwendungsfall der Euler’schen Kreiselgleichungen ist die "Perle auf rotierendem Kreisring im Schwerefeld"<ref name="Eckelt"/><ref name="Arnold"/> das konische oder Fliehkraftpendel, denn es hat überraschende Eigenschaften. In Worten der Kreiseltheorie handelt es sich um einen schweren Kreisel, der in einem Punkt festgehalten wird und bei dem die Eigendrehung um die Pendelachse durch äußere Momente verhindert und die Präzessionsgeschwindigkeit konstant gehalten wird. Komplexere Eigenschaften treten bei beliebiger Lage des Massenmittelpunkts und anfänglicher Ausrichtung der Hauptachsen auf. Vereinfachungen ergeben sich mit Massenmittelpunkt auf der 1-Achse und permanent horizontaler 3-Achse des Hauptachsen­systems.

Kinematik

Die in der Kreiseltheorie üblichen Definitionen der Winkel und Winkelgeschwindigkeiten werden übernommen. Insbesondere wird die z-Komponente der 2-Achse

<math>n_2=\sin(\vartheta)\cos(\varphi)=\cos(\varphi)</math>

bei horizontaler 3-Achse (ϑ ≡ 90°) benötigt, die identisch mit der 2-Komponente des Einheitsvektors ist, der vertikal nach oben weist. Die Funktionen sin und cos bilden den Sinus und Kosinus.

Die Winkelgeschwindigkeiten lauten unter den hiesigen Bedingungen:

<math>\begin{align}

\mu:=&\dot\psi=\omega_1\sin(\varphi)+\omega_2\cos(\varphi)=\text{const.} \\ \dot\vartheta=&\omega_1\cos(\varphi)-\omega_2\sin(\varphi)\equiv0 \\ \omega_1=&\mu\sin(\varphi),\;\omega_2=\mu\cos(\varphi),\;\omega_3=\dot\varphi \end{align}</math>

Der Winkel ϑ ist unveränderlich, wenn er anfangs keine Zeitableitung hat und dauerhaft keine Beschleunigung erfährt.

Kinetik

Die 1- oder Pendelachse trägt im Abstand s > 0 vom Fixpunkt den Massenmittelpunkt, dessen Gewichtskraft mg somit ein Schweremoment auf das Pendel ausübt. Zusätzlich zu diesem Schweremoment wirken äußere Momente M_1,2 in 1- bzw. 2-Richtung des Haupt­achsen­systems, um Winkelbeschleunigungen von ϑ und μ zu unterdrücken. Die Kreiselgleichungen in 1- und 2-Richtung dienen nur der Bestimmung dieser Momente, die hier nicht interessieren. Bemerkenswert ist jedoch, dass diese Drehmomente eine zeitliche Änderung des vertikalen Drehimpulses verursachen,<ref name="Eckelt"/> der bei schweren Kreiseln immer konstant ist.

Um die horizontale 3-Richtung kann das Pendel frei drehen und das Schweremoment in dieser Richtung ist -mgsn₂ = -mgs cos(φ), siehe Kinematik oben und Euler-Poisson-Gleichungen. Damit liefert die dritte der Kreiselgleichungen

<math>M_3=-mgs\cos(\varphi)=C\dot\omega_3+(B-A)\omega_1\omega_2</math>

die Bewegungsgleichung

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*		{{#if:|{{{3}}}|(3.5)}}

Darin sind A, B und C die Hauptträgheitsmomente um die 1-, 2- bzw. 3-Achse.

Gleichgewichtslagen

Im Gleichgewicht verschwindet in (*) die Winkelbeschleunigung:

<math>C\ddot\varphi=[(A-B)\mu^2\sin(\varphi)-mgs]\cos(\varphi)=0</math>.

Anders als beim sich selbst überlassenen Lagrange-Kreisel ist eine Präzession mit waagerechter Achse (φ = 0) nicht möglich. Mangels Eigendrehung gibt es hier keine Kreiselwirkung, die das Schweremoment ausgleichen könnte. Das Gleichgewicht mit lotrechter 1-Achse (φ = ±90°) ist allen Kreiseln zugänglich – auch dem Kugelkreisel, der nur dort Gleichgewicht findet. Bei A ≠ B ergeben sich die Gleichgewichtslagen aus

<math>

\left[\sin(\varphi)-\frac{mgs}{(A-B)\mu^2}\right]\cos(\varphi)=0 </math>

Wenn A - B dasselbe Vorzeichen wie sin(φ) hat, kann der Term in der eckigen Klammer null werden. Dazu muss, wegen <math>|\sin(\varphi)|\le1</math>

<math>|\mu|\ge\sqrt{\frac{mgs}{|A-B|}}=:\mu_c</math>

erfüllt sein. Das Pendel muss eine kritische Drehgeschwindigkeit μ_c überschreiten, damit diese Gleichgewichtslage abseits der Senkrechten existiert. Beim abgeplatteten Kreisel weist die 1-Achse im Gleichgewicht nach oben (ist A > B und sin(φ) > 0) und beim gestreckten nach unten (A < B und sin(φ) < 0).

Analog zum symmetrischen Kreisel wird das Pendel hier und im folgenden abgeplattet genannt, wenn A > B, und gestreckt, wenn B > A.

Energiebetrachtung

Multiplikation der Bewegungsgleichung (*) mit <math>\dot\varphi</math> ermöglicht eine Zeitintegration:

<math>E=

\frac{C}{2}{\dot\varphi}^2+\frac{B-A}{2}\mu^2\sin^2(\varphi) +mgs\sin(\varphi) </math>

Die Integrationskonstante E ist die Energie des Pendels im rotierenden System:<ref name="Eckelt"/>

• der erste Summand trägt die Rotationsenergie um die 3-Achse bei,
• der zweite Summand ist das Zentrifugalpotential der Präzession und
• der dritte Summand steht für die Lageenergie im Schwerefeld der Erde.

Die Energie und ihre Ableitungen (·)' nach φ ergeben sich mit der Abkürzung <math>z:=\tfrac{mgs}{(A-B)\mu^2}</math> zu

<math>\begin{align}

E=&\frac{C}{2}{\dot\varphi}^2 +(B-A)\mu^2\bigg(\frac{\sin^2(\varphi)}{2}-z\sin(\varphi)\bigg) \\ E'=&(B-A)\mu^2[\sin(\varphi)-z]\cos(\varphi) \\ E=&(B-A)\mu^2[1+z \sin(\varphi)-2\sin^2(\varphi)] \end{align}</math>

Beim gestreckten Kreisel ist B > A und z < 0 und beim abgeplatteten Kreisel ist B < A sowie z > 0. Stabilität liegt in einem Energieminimum vor, wo E' = 0 und E" > 0 ist. Die Energie ist in Gleichgewichtslagen stationär: bei sin(φ) = z oder cos(φ) = 0, wo sin(φ) = -1 oder sin(φ) = +1 ist:

Gleichgewichtslage mit sin(φ) = z

Hier ist E" = (A-B)μ²(z²-1). Diese Bewegung ist beim gestreckten Kreisel stabil, wenn z ² < 1, also immer, und beim abgeplatteten, wenn z ² > 1, also nie.

Hängendes Pendel sin(φ) = -1

Hier ist E" = (A-B)μ²(1+z). Der untere Totpunkt ist beim abgeplatteten Kreisel stabil, wenn z > -1, also immer, und beim gestreckten, wenn z < -1, also| μ| < μ_c. Bei zunehmendem μ durchläuft das gestreckte Pendel bei μ = μ_c eine subkritische Pitchfork-Bifurkation,<ref name="Eckelt"/> wo die stabile Lage am unteren Totpunkt instabil wird und zwei stabile Gleichgewichtslagen mit sin(φ) = z entstehen. Im Gegensatz dazu ist der lotrecht hängende Lagrange-Kreisel immer stabil,<ref name="Grammel" details="S. 111"/> siehe dort.

Aufrechtes Pendel sin(φ) = +1

Hier ist E" = (A-B)μ²(1-z). Der obere Totpunkt ist beim gestreckten Kreisel stabil, wenn z > 1, also nie, und beim abgeplatteten, wenn z < 1 oder| μ| > μ_c. Bei zunehmendem μ durchläuft das abgeplattete Pendel bei μ = μ_c eine superkritische Pitchfork-Bifurkation, wo die instabile Lage am oberen Totpunkt stabil wird und zwei neue instabile Gleichgewichtslagen mit sin(φ) = z entstehen.

Schwingungen

Die Gleichung (*) kann um Gleichgewichtslagenφ₀, wo z = sin(φ₀) ist, linearisiert werden. Dazu wird φ = φ₀+δ mit konstantem φ₀ und kleiner Abweichung δ angenommen. Die Drehbeschleunigung

<math>

C\ddot\varphi=C\ddot\delta =(A-B)\mu^2\sin(\varphi_0+\delta)\cos(\varphi_0+\delta) -mgs\cos(\varphi_0+\delta) </math>

entwickelt sich mit den Additionstheoremen und sin(δ) ≈ δ, cos(δ) ≈ 1 zur Schwingungsgleichung

<math>

\ddot\delta+\frac{B-A}{C}\mu^2\cos^2(\varphi_0)\delta=0 </math>    mit    <math> \sin(\varphi_0)=\frac{mgs}{(A-B)\mu^2} </math>

Beim gestreckten Kreisel ist B > A und der "Rückstellkoeffizient" vor δ immer positiv, weswegen der gestreckte Kreisel kleine Schwingungen um Gleichgewichtslagen ausführen kann. Beim abgeplatteten Kreisel ist wegen A > B der Rückstellkoeffizient negativ. Daher kann der abgeplattete Kreisel keine Schwingungen um Gleichgewichtslagen abseits der Senkrechten ausführen, was im Einklang mit den Ergebnissen aus der Energiebetrachtung ist.

Siehe auch

• Poinsotsche Konstruktion: grafische Beschreibung der momentenfreien Bewegung.
• Physikalisches Pendel

Einzelnachweise

<references> <ref name="Gross"> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="Dankert"> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="Truesdell"> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="Eckelt"> {{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:P. Eckelt|P. Eckelt: }}{{#if:|{{#if:Theoretische Mechanik|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Theoretische Mechanik}}]{{#if:PDF| (PDF)}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://pauli.uni-muenster.de/tp/fileadmin/lehre/skripte/eckelt/thmech.pdf%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Theoretische Mechanik}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://pauli.uni-muenster.de/tp/fileadmin/lehre/skripte/eckelt/thmech.pdf}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Theoretische Mechanik}}}}]}}{{#if:PDF| (PDF{{#if:Institut für Theoretische Physik an der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster200011 bis 13{{#if: 2016-07-16 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

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Literatur

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Weblinks

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