Eulersche Differentialgleichung

Die eulersche Differentialgleichung (nach Leonhard Euler) ist eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung mit nicht-konstanten Koeffizienten der speziellen Form

<math>\sum_{k=0}^N a_k \, (cx+d)^k\;y^{(k)}(x) = b(x)\ ,\ cx + d > 0</math>

zu gegebenen <math>N \in \mathbb{N},\ a_0, \ldots, a_N,c,d \in \mathbb{R},\ c \neq 0</math> und Inhomogenität <math>b</math>. Kennt man ein Fundamentalsystem der homogenen Lösung, so kann man mit dem Verfahren der Variation der Konstanten die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung bestimmen. Daher braucht nur <math>b \equiv 0</math> betrachtet zu werden.

Die eulersche Differentialgleichung wird mittels der Transformation <math>z(t) := y\left(\tfrac{e^t-d}{c}\right)</math> in eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten überführt.

Motivation der Transformation

Sei <math>y</math> eine genügend glatte Funktion und

<math>z(x) := y\left(\frac{e^x-d}{c}\right)</math>, also <math>\ y(x) = z(\ln(cx+d))</math>.

Dann gilt

<math>\begin{array}{lll}

y'(x)&=&\frac{c}{cx+d}z'(\ln(cx+d))\ ,\\ y(x)&=&\frac{c^2}{(cx+d)^2}z(\ln(cx+d)) - \frac{c^2}{(cx+d)^2}z'(\ln(cx+d))\ ,\\\end{array}</math> also

<math>\begin{array}{lll}

(cx+d)y'(x)&=&c\cdot z'(\ln(cx+d))\ ,\\ (cx+d)^2y(x)&=&c^2\cdot [z-z'](\ln(cx+d))\ .\\\end{array}</math> Insofern würde sich die eulersche Differentialgleichung zweiter Ordnung in eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten transformieren. Es stellen sich nun folgende Fragen:

• Überführt diese Transformation auch die Terme höherer Ordnung <math>(cx+d)^ky^{(k)}(x)</math> in welche mit konstanten Koeffizienten?
• Wie kann man die Koeffizienten auf der rechten Seite einfacher ausrechnen, ohne jedes Mal die Transformation genügend oft abzuleiten?

Diese Fragen werden durch den folgenden Transformationssatz geklärt:

Der Transformationssatz

Sei <math>z</math> Lösung der linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

<math>\sum_{k=0}^{n}a_kc^k\left(\left[\prod_{j=0}^{k-1}\left(\fracVorlage:\rm d{{\rm d}x}-j\right)\right]z\right)(x) = 0\ .</math>

Dann ist

<math>\ y(x) := z(\ln(cx+d))</math>

eine Lösung der (homogenen) eulerschen Differentialgleichung

<math>\sum_{k=0}^N a_k(cx+d)^ky^{(k)}(x) = 0\ ,\ cx+d > 0\ .</math>

Erläuterung zur Notation

Hierbei werden zunächst die Differentialoperatoren miteinander (vergleichbar dem Ausmultiplizieren) verknüpft, bevor sie auf eine Funktion angewandt werden, beispielsweise:

<math>\left[\prod_{j=0}^{-1}\left(\fracVorlage:\rm d{{\rm d}x}-j\right)\right]z = z\ ,</math>

<math>\left[\prod_{j=0}^0\left(\fracVorlage:\rm d{{\rm d}x}-j\right)\right]z = \left(\fracVorlage:\rm d{{\rm d}x}-0\right)z = z'\ ,</math>

<math>\left[\prod_{j=0}^1\left(\fracVorlage:\rm d{{\rm d}x}-j\right)\right]z = \left(\fracVorlage:\rm d{{\rm d}x}-0\right)\left(\fracVorlage:\rm d{{\rm d}x}-1\right)z =

\left(\fracVorlage:\rm d^2{{\rm d}x^2}-\fracVorlage:\rm d{{\rm d}x}\right)z = z - z'\ ,</math>

<math>\left[\prod_{j=0}^2\left(\fracVorlage:\rm d{{\rm d}x}-j\right)\right]z = \left(\fracVorlage:\rm d{{\rm d}x}-0\right)\left(\fracVorlage:\rm d{{\rm d}x}-1\right)\left(\fracVorlage:\rm d{{\rm d}x}-2\right)z =

\left(\fracVorlage:\rm d^3{{\rm d}x^3}-3\fracVorlage:\rm d^2{{\rm d}x^2}+2\fracVorlage:\rm d{{\rm d}x}\right)z = z' - 3z + 2z'\ .</math>

Beweis

Zu zeigen ist lediglich <math>c^k\left(\left[\prod_{j=0}^{k-1}\left(\fracVorlage:\rm d{{\rm d}x}-j\right)\right]z\right)(\ln(cx+d)) = (cx+d)^ky^{(k)}(x)</math> für alle <math>k \in \mathbb{N}_0</math>. Dies geschieht mittels vollständiger Induktion. Der Induktionsanfang <math>k=0</math> ist trivial. Unter Voraussetzung der Gültigkeit der Identität für <math>k_0 \in \mathbb{N}_0</math> kann diese Identität differenziert werden. Es ergibt sich

<math>(cx+d)^{k_0}y^{(k_0+1)}(x) + ck_0(cx+d)^{k_0-1}y^{(k_0)}(x) = \frac{c^{k_0+1}}{cx+d}\left(\fracVorlage:\rm d{{\rm d}x}\left[\prod_{j=0}^{k_0-1}\left(\fracVorlage:\rm d{{\rm d}x}-j\right)\right]z\right)(\ln (cx+d))\ .</math>

Anwenden der Induktionsvoraussetzung impliziert

<math>\begin{array}{lll}

(cx+d)^{k_0+1}y^{(k_0+1)}(x)&=&c^{k_0+1}\left(\fracVorlage:\rm d{{\rm d}x}\left[\prod_{j=0}^{k_0-1}\left(\fracVorlage:\rm d{{\rm d}x}-j\right)\right]z\right)(\ln(cx+d)) - ck_0(cx+d)^{k_0}y^{(k_0)}(x)\\ &=&c^{k_0+1}\left(\fracVorlage:\rm d{{\rm d}x}\left[\prod_{j=0}^{k_0-1}\left(\fracVorlage:\rm d{{\rm d}x}-j\right)\right]z\right)(\ln (cx+d))\\ &&\quad - c^{k_0+1}k_0\left(\left[\prod_{j=0}^{k_0-1}\left(\fracVorlage:\rm d{{\rm d}x}-j\right)\right]z\right)(\ln (cx+d))\\ &=&c^{k_0+1}\left(\left[\prod_{j=0}^{k_0}\left(\fracVorlage:\rm d{{\rm d}x}-j\right)\right]z\right)(\ln (cx+d))\ .\\ \end{array}</math>

<math>\Box</math>

Folgerung: Konstruktion eines Fundamentalsystems

Die charakteristische Gleichung für die Differentialgleichung von <math>z</math> lautet

<math>\chi(\lambda) = \sum_{k=0}^{n}a_kc^k\prod_{j=0}^{k-1}(\lambda-j) = 0\ .</math>

Bezeichnen nun <math>\lambda_1, \ldots, \lambda_M</math> die Nullstellen des charakteristischen Polynoms <math>\chi(\lambda)</math> und <math>R_j</math> die Vielfachheit von <math>\lambda_j</math>, so bildet

<math>\{z_{j,k}(x) = e^{\lambda_jx}x^k\ |\ j = 1, \ldots, M\ ,\ k = 0, \ldots, R_j-1\}</math>

ein Fundamentalsystem der Gleichung für <math>z</math>. Also ist

<math>\{y_{j,k}(x) = (cx+d)^{\lambda_j}[\ln(cx+d)]^k\ |\ j = 1, \ldots, M\ ,\ k = 0, \ldots, R_j-1\}</math>

ein Fundamentalsystem der (homogenen) eulerschen Differentialgleichung.

Beispiel

Gegeben sei die eulersche Differentialgleichung

<math>a_2x^2y(x)+a_1xy'(x)+a_0y(x)=0\ ,\ a_2 \neq 0\ ,\ x > 0\ .</math>

Zu lösen ist nach obigem Satz zunächst die folgende lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

<math>a_2(z(x)-z'(x)) + a_1z'(x) + a_0z(x) = 0\ ,</math>

also

<math>a_2z(x) + (a_1-a_2)z'(x) + a_0z(x) = 0\ .</math>

Das zu dieser Differentialgleichung gehörige charakteristische Polynom lautet

<math>\chi(\lambda)=\ a_2\lambda^2+(a_1-a_2)\lambda+a_0</math>

und besitzt die Nullstellen

<math>\lambda_{1,2}=\frac{a_2-a_1}{2a_2}\pm \sqrt{\frac{(a_2-a_1)^2}{4a_{2}^2}-\frac{a_0}{a_2}}\ .</math>

Fall 1: <math>\lambda_1 \ne \lambda_2</math>, beide reell.

Dann ist <math>\{e^{\lambda_1 z}, e^{\lambda_2 z}\}</math> ein Fundamentalsystem für die transformierte lineare Differentialgleichung. Die Rücktransformation liefert, dass <math>\{x^{\lambda_1}, x^{\lambda_2}\}</math> ein Fundamentalsystem für die ursprüngliche eulersche Differentialgleichung ist.

Fall 2: <math>\ \lambda_1 = \lambda_2</math>.

Dann ist <math>\lambda := \frac{a_2-a_1}{2a_2}</math> eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms. Daher ist <math>\ \{e^{\lambda z}, ze^{\lambda z}\}</math> ein Fundamentalsystem für die transformierte lineare Differentialgleichung. Die Rücktransformation liefert, dass <math>\ \{x^\lambda, x^\lambda\ln x\}</math> ein Fundamentalsystem für die ursprüngliche eulersche Differentialgleichung ist.

Fall 3: <math>\ \lambda_1, \lambda_2</math> beide nicht reell.

Dann sind <math>\ \lambda_1, \lambda_2</math> komplex konjugiert zueinander. Also ist <math>\ \{e^{\lambda_1 z}, e^{\lambda_2 z}\}</math> ein (komplexes) Fundamentalsystem. Sei <math>\ \lambda_1 = \mu + i\nu</math>, <math>\mu, \nu \in \mathbb{R}</math>. Dann ist <math>\ \{e^{\mu z}\sin(\nu z), e^{\mu z}\cos(\nu z)\}</math> ein reelles Fundamentalsystem der transformierten linearen Differentialgleichung. Rücktransformation liefert <math>\ \{x^\mu\sin(\nu \ln x), x^\mu\cos(\nu \ln x)\}</math> als Fundamentalsystem für die ursprüngliche eulersche Differentialgleichung.

<math>\Box</math>

Literatur

• Earl A. Coddington, Norman Levinson: Theory of Ordinary Differential Equations. McGraw-Hill, New York 1955, ISBN 978-0-07-011542-2.
• Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Seite 240, Vieweg + Teubner, Stuttgart 2009, ISBN 978-3-8348-0705-2