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Euler-Zahlen

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{{#if: behandelt die ganzen Zahlen des Euler-Dreiecks. 

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Die nach Leonhard Euler benannte Euler-Zahl An,k in der Kombinatorik, auch geschrieben als <math>E(n,k)</math> oder <math>\textstyle\bigl\langle\!{n \atop k}\!\bigr\rangle</math>, ist die Anzahl der Permutationen (Anordnungen) von <math>1, \ldots, n</math>, in denen genau <math>k</math> Elemente größer als das vorhergehende sind, die also genau <math>k</math> Anstiege enthalten. Äquivalent dazu ist die Definition mit „kleiner“ statt „größer“ und „Abstiege“ statt „Anstiege“. Nach einer anderen Definition ist die Euler-Zahl <math>a(n,k)</math> die Anzahl der Permutationen von <math>1, \ldots, n</math> mit genau <math>k</math> maximalen monoton ansteigenden Abschnitten, wodurch der zweite Parameter gegenüber der hier verwendeten Definition um eins verschoben ist: <math>a(n,k) = A_{n,k-1}</math>.

Euler-Dreieck

Wie die Binomialkoeffizienten im Pascalschen Dreieck können die Euler-Zahlen im Euler-Dreieck angeordnet werden (erste Zeile <math>n=1</math>, erste Spalte <math>k=0</math>; Folge A008292 in OEIS): 

                             1
                          1     1
                       1     4     1
                    1    11    11     1
                 1    26    66    26     1
              1    57    302   302   57     1
           1    120  1191  2416  1191   120    1
        1    247  4293  15619 15619 4293   247    1
     1    502  14608 88234 156190 88234 14608 502    1
  1    ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...    1

Dabei kann man mit der folgenden Rekursionsformel jeden Eintrag aus den beiden darüberstehenden berechnen:

<math>A_{n,k} = (n-k)\,A_{n-1,k-1} + (k+1)\,A_{n-1,k}</math>

für <math>n>0</math> mit <math>A_{0,0}=1</math> und <math>A_{0,k}=0</math> für <math>k\not=0</math>. Auch die Konvention <math>A_{0,-1} = 1</math> und <math>A_{0,k} = 0</math> für <math>k \not= -1</math> wäre sinnvoll, sie ist bei der alternativen Definition üblich.

Eigenschaften

Direkt aus der Definition folgen <math>A_{n,0}=1</math> und <math>A_{n,n-1-k} = A_{n,k}</math> für <math>n > 0</math> und

<math>\sum_{k=0}^n A_{n,k} = n!</math>

für <math>n\ge 0</math>, wobei <math>A_{n,n}=0</math> gesetzt wird.

Aus den Binomialkoeffizienten können die Euler-Zahlen mit der Formel

<math>A_{n,k} = \sum_{i=0}^k\,(-1)^i \binom{n+1}{i} (k+1-i)^n</math>

für <math>n, k \ge 0</math> berechnet werden, insbesondere

  • <math>A_{n,1} = 2^n - (n+1),</math> Folge A000295 in OEIS,
  • <math>A_{n,2} = 3^n - 2^n\,(n+1) + \tfrac{1}{2}\,n\,(n+1),</math> Folge A000460 in OEIS und
  • <math>A_{n,3} = 4^n - 3^n\,(n+1) + 2^n\,\tfrac{1}{2}\,n\,(n+1) - \tfrac{1}{6}\,(n-1)\,n\,(n+1),</math> Folge A000498 in OEIS.

Es gilt die Worpitzky-Identität (Worpitzky 1883)<ref>Julius Worpitzky: Studien über die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen, Journal für die reine und angewandte Mathematik 94, 1883, S. 203–232</ref>

<math>\sum_{k=0}^n A_{n,k}\,\binom{x+k}{n} = x^n</math>

für <math>n\ge 0</math>, wobei <math>x</math> eine Variable und <math>\tbinom{x+k}{n}</math> ein verallgemeinerter Binomialkoeffizient ist.

Eine erzeugende Funktion für <math>A_{n,k}</math> ist

<math>\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n A_{n,k}\,\frac{t^n}{n!}\,x^k = \frac{x-1}{x - e^{(x-1)\,t}}\,.</math>

Eine Beziehung zu den Bernoulli-Zahlen <math>\beta_m</math> wird durch die alternierende Summe

<math>\sum_{k=0}^{m-1} (-1)^k A_{m-1,k} = \frac{(-2)^m\,(2^m - 1)}{m}\,\beta_m</math>

für <math>m > 0</math> hergestellt.

Euler-Polynome

Datei:EulerianPolynomialsByEuler1755.png
Euler-Zahlen als Koeffizienten von Euler-Polynomen<ref>Leonhard Euler: Institutiones calculi differentialis Teil 2, Academia imperialis scientiarum Petropolitanae, 1755, S. 485–486 (lateinisch)</ref>

Das Euler-Polynom <math>A_n(x)</math> ist definiert durch

<math>A_n(x) = \sum_{k=0}^{n-1} A_{n,k}\,x^k\,,</math>

also

  • <math>A_0(x) = A_1(x) = 1,</math>
  • <math>A_2(x) = 1 + x,</math>
  • <math>A_3(x) = 1 + 4 x + x^2,</math>
  • <math>A_4(x) = 1 + 11 x + 11 x^2 + x^3,</math>
  • <math>A_5(x) = 1 + 26 x + 66 x^2 + 26 x^3 + x^4,</math>
  • <math>A_6(x) = 1 + 57 x + 302 x^2 + 302 x^3 + 57 x^4 + x^5,</math>
  • <math>A_7(x) = 1 + 120 x + 1191 x^2 + 2416 x^3 + 1191 x^4 + 120 x^5 + x^6.</math>

Aus den entsprechenden Gleichungen für die Euler-Zahlen erhält man die Rekursionsformel

<math>A_{n+1}(x) = (1 + n\,x)\,A_n(x) + x\,(1-x)\,A^\prime_n(x)</math>

und die erzeugende Funktion

<math>\sum_{n=0}^\infty A_n(x)\,\frac{t^n}{n!} = \frac{x-1}{x - e^{(x-1)\,t}}\,.</math>

Die Euler-Polynome kommen im Zähler der geschlossenen Darstellung gewisser Potenzreihen vor:

<math>\sum_{k=0}^\infty (k+1)^n x^k = 1^n+2^n x + 3^n x^2 + 4^n x^3 + \ldots = \frac{A_n(x)}{(1-x)^{n+1}}</math> für <math>n=0,\,1,\,2,\ldots</math> und <math>|x|<1</math>.

Spezialfälle:

<math>n=0: \sum_{k=0}^\infty x^k = 1+x+x^2+x^3+\ldots=\frac{A_0(x)}{1-x}=\frac{1}{1-x}</math>   (geometrische Reihe),

<math>n=1: \sum_{k=0}^\infty (k+1) x^k = 1+2x+3x^2+4x^3+\ldots=\frac{A_1(x)}{(1-x)^2}=\frac{1}{(1-x)^2}</math>,

<math>n=2: \sum_{k=0}^\infty (k+1)^2 x^k = 1+4x+9x^2+16x^3+\ldots=\frac{A_2(x)}{(1-x)^3}=\frac{1+x}{(1-x)^3}</math>

usw.

Literatur

Weblinks

Einzelnachweise

<references />

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