Erhabene Zahl

Eine erhabene Zahl oder sublime Zahl ist eine natürliche Zahl <math>n</math> mit der besonderen Eigenschaft, dass die Anzahl ihrer Teiler <math>\tau(n)</math> und ihre Teilersumme <math>\sigma(n)</math> vollkommene Zahlen sind. Bislang sind nur zwei erhabene Zahlen bekannt.<ref>Folge A081357 in OEIS</ref>

Bekannte erhabene Zahlen

12

• Die 12 hat 6 Teiler: 12, 6, 4, 3, 2, 1.
• Die Summe ihrer Teiler beträgt: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28.

<math>\tau(12) = 6</math> und <math>\sigma(12) = 28</math> sind vollkommene Zahlen.

6.086.555.670.238.378.989.670.371.734.243.169.622.657.830.773.351.885.970.528.324.860.512.791.691.264

6086555670238378989670371734243169622657830773351885970528324860512791691264 = 2¹²⁶ (2⁶¹ − 1)(2³¹ − 1)(2¹⁹ − 1)(2⁷ − 1)(2⁵ − 1)(2³ − 1).
Diese 76-stellige erhabene Zahl wurde von Kevin Brown entdeckt.

• Die Anzahl der Teiler ist: (126+1) 2⁶ = 8128.
• Die Summe der Teiler ist: (2¹²⁶⁺¹-1) 2^{61+31+19+7+5+3} = (2¹²⁷-1) 2¹²⁶.

<math>\tau(60865556\dotso) = (2^{7}-1) 2^{6} = 8128</math> und <math>\sigma(60865556\dotso) = (2^{127}-1) 2^{126}</math> sind vollkommene Zahlen.

Es ist nicht bekannt, ob noch weitere erhabene Zahlen existieren oder ob es unendlich viele oder auch ungerade erhabene Zahlen geben könnte.

Literatur

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• Jean-Marie De Koninck: Those Fascinating Numbers. American Mathematical Society, Providence 2009, ISBN 978-0-8218-4807-4, S. 4 (online) und S. 395 (online).

Siehe auch

• Liste besonderer Zahlen

Weblinks

• Sublime Numbers auf mathpages.com

Einzelnachweise

<references />