Embree-Trefethen-Konstante

Die Embree-Trefethen-Konstante ist eine mathematische Konstante, die nach den Mathematikern Mark Embree und Lloyd Nicholas Trefethen benannt wurde. Sie ist ein Grenzkoeffizient in der Zahlentheorie und wird mit <math>\beta^*</math> bezeichnet.

Für ein festes reelles <math>\beta > 0</math> betrachte man die Rekursion

wobei für das Rechenzeichen auf der rechten Seite unabhängig für jedes <math>n</math> mit gleicher Wahrscheinlichkeit <math>+</math> oder <math>-</math> gewählt wird.

Für <math>\beta = 1</math> erhält man die zufällige Fibonacci-Folge.

Der Grenzwert

<math>\sigma(\beta) := \lim_{n \to \infty} |x_n|^{\frac{1}{n}}</math>

existiert für jede Wahl von <math>\beta</math> fast sicher. Mit anderen Worten: Die Folge verhält sich mit Wahrscheinlichkeit 1 asymptotisch exponentiell mit Basis <math>\sigma(\beta)</math>.

Es gilt

<math>\sigma < 1</math> für <math>0 < \beta < \beta^* \approx 0{,}70258,</math>

also fällt die Folge der <math>x_n</math> dann fast sicher asymptotisch exponentiell, und

<math>\sigma > 1</math> für <math>\beta > \beta^*,</math>

also wachsen diesfalls die Folgenglieder fast sicher asymptotisch exponentiell.

Spezielle Werte von <math>\sigma</math> sind:

<math>\sigma(1) = 1{,}131 \, 988 \, 248 \, 794 \, 3\dots</math> (Viswanath-Konstante) und (nach Definition)
<math>\sigma(\beta^*) = 1</math>.

Literatur

Mark Embree, Lloyd Nicholas Trefethen: Growth and Decay of Random Fibonacci Sequences. (PDF; 381 kB). In: Proceedings of the Royal Society. A 455, Juli 1999, S. 2471–2485 (englisch).
{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Random Fibonacci Sequence. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}