Elementargebiet

Ein Gebiet <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> heißt Elementargebiet (teilweise auch Stammgebiet) genau dann, wenn jede auf <math>D</math> holomorphe Funktion eine Stammfunktion besitzt, das heißt, auf <math>D</math> gilt die Aussage des Integralsatzes von Cauchy.

Charakterisierung

Es gelten folgende Charakterisierungen für ein Elementargebiet <math>D</math>:

<math>D</math> ist einfach zusammenhängend, das heißt, jede geschlossene Kurve in <math>D</math> ist nullhomotop, das heißt, auf den Anfangspunkt stetig zusammenziehbar. Anschaulich bedeutet dies, dass <math>D</math> keine Löcher hat.
<math>D</math> ist homolog einfach zusammenhängend, das heißt, jeder Zyklus in <math>D</math> ist nullhomolog, das heißt, das Innere des Zyklus liegt vollständig in <math>D</math>.
<math>D</math> ist konform äquivalent zu ganz <math>\mathbb{C}</math> oder zur Einheitskreisscheibe <math>\mathbb{E}</math>, das heißt, es existiert eine biholomorphe Abbildung von <math>D</math> zu <math>\mathbb{C}</math> oder zu <math>\mathbb{E}</math>, vergleiche: riemannscher Abbildungssatz.

Eigenschaften

Sind <math> A </math> und <math> B </math> Elementargebiete, deren Schnitt zusammenhängend und nicht leer ist, so ist auch <math> A \cup B </math> ein Elementargebiet.
Ist <math> (A_i)_{i \in \mathbb{N}} </math> eine Folge von Elementargebieten, für die <math> A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset \ldots </math> gilt, so ist auch <math> \textstyle\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i</math> ein Elementargebiet.

Aus Kreisscheiben lassen sich mittels dieser beiden Operationen alle Elementargebiete erzeugen.

Beispiel

Folgende Gebiete sind Elementargebiete:

<math>\mathbb{C}</math> und <math>\mathbb{E}</math>
jedes Sterngebiet
die geschlitzte Ebene <math>\mathbb{C}\setminus\{z\in\mathbb{R}:z\leq 0\}</math>

Folgendes Gebiet ist kein Elementargebiet:

<math>\mathbb{C}\setminus\{0\}</math>

Literatur

Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4