Elektromagnetischer Feldstärketensor

Der elektromagnetische Feldstärketensor (auch Faraday-Tensor oder einfach Feldstärketensor) ist eine physikalische Größe, die in der Elektrodynamik das elektromagnetische Feld als Feld in der Raumzeit beschreibt. Er wurde 1908 von Hermann Minkowski im Rahmen der Relativitätstheorie eingeführt. Die aus Physik und Technik bekannten vektoriellen Feldgrößen wie elektrische und magnetische Feldstärke lassen sich aus dem Feldstärketensor ableiten. Die Bezeichnung Tensor für die Art dieser Größe ist eine Abkürzung, tatsächlich ist es ein Tensorfeld, also ein von Punkt zu Punkt variierender Tensor.

Definition

Der elektromagnetische Feldstärketensor ist gewöhnlich definiert durch das Vektorpotential:<ref name="Bart243"/>

<math>

\,F^{\mu\nu}=\partial^{\mu}A^{\nu} - \partial^{\nu}A^{\mu} </math> z. B. mit dem klassischen Vektorpotential<ref name="Bart242">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>

A^{\mu} = \left(\frac\phi c, \vec A\right) </math> Diese Definition ist auch für die Quantenelektrodynamik gültig. Dort ist einfach nur das Vektorpotential operatorwertig. Es ist ein Spezialfall der Feldstärketensor-Definition einer allgemeinen Eichtheorie.

Eigenschaften und Formeln

Der Feldstärketensor besitzt folgende Eigenschaften:

<math>F^{\mu\nu}</math> ist antisymmetrisch: <math>F^{\mu\nu} = -F^{\nu\mu}</math>
Daher verschwinden seine Diagonalelemente <math>F^{\mu\mu} = 0</math> und auch seine Spur: <math>\operatorname{Spur}(F)=F^{00}+F^{11}+F^{22}+F^{33} = 0</math>
Aufgrund der Antisymmetrie sind nur 6 der 16 Komponenten unabhängig

Hier einige häufig auftretenden Kontraktionen:

In der Lagrangedichte tritt dieser Lorentz-invariante Term auf:<ref name="Bart246">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} = \ 2 \left( B^2 - \frac{E^2}{c^2} \right)</math>

Von Interesse ist auch die mit dem Levi-Civita-Symbol gebildete, pseudoskalare Invariante:<ref name="Bart246"/>

<math>\widetilde F_{\gamma\delta}F^{\gamma\delta}=\tfrac12\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}F^{\alpha\beta} F^{\gamma\delta} = - \frac{4}{c} \left( \vec B \cdot \vec E \right)</math>

Mit der Konvention <math>\epsilon_{0123} = -1</math> bzw. <math>\epsilon^{0123} = +1</math>.

Keine neue Information ergibt:<ref name="Bart246"/>

<math>\widetilde F_{\gamma\delta}\widetilde F^{\gamma\delta}= - F_{\gamma\delta} F^{\gamma\delta}</math>

In einigen Rechnungen kommt auch diese Größe vor:

<math> \det \left( F \right) = \frac{1}{c^2} \left( \vec B \cdot \vec E \right) ^{2} </math>

Der Energie-Impuls-Tensor <math>T^{\alpha\beta}</math> der allgemeinen Relativitätstheorie für das elektromagnetische Feld wird aus <math>F^{\alpha\beta}</math> gebildet:<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>T^{\alpha\beta}= F^{\alpha\gamma} {F^{\beta}}_{\gamma}-\frac{1}{4}g^{\alpha\beta} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}</math>

Darstellung als Matrix

Die Matrixdarstellung des Feldstärketensors ist koordinatenabhängig. In einer flachen Raumzeit (also mit Minkowski-Metrik) und kartesischen Koordinaten kann der kontravariante Feldstärketensor geschrieben werden als:<ref name="Bart243">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="Jackson642">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="Flie167">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>

F^{\mu\nu} = \left(\begin{matrix}

                 0  &   -E_x/c &  -E_y/c &  -E_z/c \\
                E_x/c &   0  &  -B_z & B_y \\
                E_y/c & B_z &   0  &  -B_x \\
                E_z/c &  -B_y & B_x &   0  \\
      \end{matrix}\right)

</math> (Diese Matrix wird gelegentlich ebenfalls kurz als Tensor bezeichnet, ist aber nicht der Tensor selbst). Die kovariante Form der Matrixdarstellung des Tensors lautet bei Verwendung der Signatur (+,−,−,−) entsprechend<ref name="Jackson642"/><ref name="Flie167"/>

<math>

F_{\mu\nu} = \left(\begin{matrix}

                 0  &   E_x/c &  E_y/c &  E_z/c \\
                -E_x/c &   0  &  -B_z & B_y \\
                -E_y/c & B_z &   0  &  -B_x \\
                -E_z/c &  -B_y & B_x &   0  \\
      \end{matrix}\right)
           = \left(\eta_{\mu\alpha} F^{\alpha\beta} \eta_{\beta\nu}\right) ~.

</math>

Homogene Maxwell-Gleichungen in kompakter Formulierung

Es ist gebräuchlich, auch den dualen elektromagnetischen Feldstärketensor zu definieren:<ref name="Bart243">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="Jackson643"/><ref name="Flie168">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>

      \widetilde{F}^{\mu\nu} := \frac{1}{2}\, \epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\,F_{\alpha\beta}
      \quad \Rightarrow \quad
      \widetilde{F}^{\mu\nu} = \left(\begin{matrix}
                  0  & -B_x & -B_y & -B_z \\
                 B_x &   0  &  E_z/c & -E_y/c \\
                 B_y & -E_z/c &   0  &  E_x/c \\
                 B_z &  E_y/c & -E_x/c &   0  \\
      \end{matrix}\right)

</math> wobei <math>\,F_{\alpha\beta}</math> der kovariante Feldstärketensor und <math>\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}</math>

<math>

 \epsilon^{\mu\nu\alpha\beta} =
 \begin{cases}
   +1, & \text{wenn }(\mu,\nu,\alpha,\beta) \text{ eine gerade Permutation von } (0,1,2,3) \text{ ist,} \\
   -1, & \text{wenn }(\mu,\nu,\alpha,\beta) \text{ eine ungerade Permutation von } (0,1,2,3) \text{ ist,} \\
   \,\,0,  & \text{wenn mindestens zwei Indizes gleich sind.}
 \end{cases}

</math> der vollständig antisymmetrische Levi-Civita-Tensor ist.<ref name="Jackson643">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Damit lassen sich die homogenen<ref name="Bart243"/><ref name="Jackson643"/> Maxwell-Gleichungen kompakt aufschreiben, denn die Divergenz des dualen elektromagnetischen Feldstärketensors

<math>

\partial_\mu \widetilde F^{\mu\nu} =\left(\begin{matrix}

                 \partial_0  &   \partial_x &  \partial_y & \partial_z 
      \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}
                  0  & -B_x & -B_y & -B_z \\
                 B_x &   0  &  E_z/c & -E_y/c \\
                 B_y & -E_z/c &   0  &  E_x/c \\
                 B_z &  E_y/c & -E_x/c &   0  \\
      \end{matrix}\right)

</math> führt auf

<math>

\left(\begin{matrix}

                 \partial_\mu \widetilde F^{\mu0} \\
                \partial_\mu \widetilde F^{\mu1} \\
                \partial_\mu \widetilde F^{\mu2} \\
                \partial_\mu \widetilde F^{\mu3}  \\
      \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}
                 \nabla\cdot{\vec B} \\
                -\dot B_x/c -\partial_yE_z/c +\partial_z E_y/c \\
                -\dot B_y/c +\partial_x E_z/c -\partial_zE_x/c \\
                -\dot B_z/c -\partial_xE_y/c +\partial_yE_x/c \\
      \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}
                 \nabla\cdot{\vec B} \\
                -\dot B_x/c -(\nabla\times \vec E /c)_x \\
                -\dot B_y/c -(\nabla\times \vec E /c)_y \\
                -\dot B_z/c -(\nabla\times \vec E /c)_z \\
      \end{matrix}\right)

</math> Verschwindet die Divergenz des dualen elektromagnetischen Feldstärketensors

<math>

\color{Red}\partial_\mu \widetilde F^{\mu\nu} =0\quad\Rightarrow\quad \nabla\cdot{\vec B}=0\quad\text{und}\quad \tfrac{\text{d}\vec B}{\text{d}t}+\nabla\times \vec E=0 </math> so ergeben sich die homogenen Maxwell-Gleichungen.<ref name="Bart244">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Inhomogene Maxwell-Gleichungen in kompakter Formulierung

Mit der Viererstromdichte <math>j^\nu=(c\rho, \vec j\,)</math> und der Divergenz des kontravarianten Feldstärketensors <math>F^{\mu\nu}</math>

<math>

\partial_\mu F^{\mu\nu} =\left(\begin{matrix}

                 \partial_0  &   \partial_x &  \partial_y & \partial_z 
      \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}
                 0  &   -E_x/c &  -E_y/c &  -E_z/c \\
                E_x/c &   0  &  -B_z & B_y \\
                E_y/c & B_z &   0  &  -B_x \\
                E_z/c &  -B_y & B_x &   0  \\
      \end{matrix}\right)

</math> ergibt sich:<ref name="Bart243"/>

<math>

\left(\begin{matrix}

                 \partial_\mu F^{\mu0} \\
                \partial_\mu F^{\mu1} \\
                \partial_\mu F^{\mu2} \\
                \partial_\mu F^{\mu3}  \\
      \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}
                 \nabla\cdot{\vec E} /c \\
                -\dot E_x/c^2 +\partial_yB_z -\partial_z B_y \\
                -\dot E_y/c^2 -\partial_x B_z +\partial_zB_x \\
                -\dot E_z/c^2 +\partial_xB_y -\partial_yB_x \\
      \end{matrix}\right)=\mu_0\left(\begin{matrix}
                 \rho c \\
                j_x \\
                j_y \\
                j_z \\
      \end{matrix}\right)

</math>

Das entspricht den inhomogenen Maxwell-Gleichungen:

<math>\tfrac{1}{c}\nabla\cdot\vec{E}=\mu_0 c\rho\quad\Rightarrow\quad \nabla\cdot\vec{E}= \tfrac{1}{\varepsilon_0}\rho,</math>

denn <math>\mu_0 c^2=\tfrac{1}{\varepsilon_0}</math> und zusätzlich gilt

<math>-\tfrac{1}{c^2}\dot {\vec E}+\nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec j \quad\Rightarrow\quad \tfrac{1}{\mu_0}\nabla\times\vec{B}=\vec j+\varepsilon_0\dot {\vec E}</math>

Diese Gleichungen lauten in Viererschreibweise somit:<ref name="Bart243"/><ref name="Jackson643"/>

<math>\color{Red}\partial_\mu F^{\mu\nu}=\mu_0j^\nu</math>

Herleitung des elektromagnetischen Feldstärketensors aus der Lorentzkraft

Im Folgenden wird das SI-System verwendet.

<math> \vec F = q(\vec E + \vec v \times \vec B) </math>

Der Lorentzkraft ist die Relativitätstheorie bereits inne was im Folgenden klarer wird.

Die relativistische Bewegungsgleichung eines Teilchens der Masse <math>m_0</math> und der Ladung <math>q</math> lautet:<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>

\frac{\mathrm{d}\,\,\,}{\mathrm{d}t}\left(\frac{m_0\vec v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right)=\frac{\mathrm{d}(m_0\gamma\vec v\,)}{\mathrm{d}t}=\vec F = q(\vec E + \vec v \times \vec B) </math>

mit <math>\gamma=\tfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}</math>. Nicht der Operator <math>\tfrac{\mathrm{d}\,\,}{\mathrm{d}t}</math> ist eine Lorentz-Invariante, sondern der Operator <math>\tfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\tfrac{\mathrm{d}\,\,}{\mathrm{d}t}=\gamma\tfrac{\mathrm{d}\,\,}{\mathrm{d}t}=:\tfrac{\mathrm{d}\,\,}{\mathrm{d}\tau}</math>.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>

\gamma\frac{\mathrm{d}(m_0\gamma\vec v\,)}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}(m_0\gamma\vec v\,)}{\mathrm{d}\tau}= q\gamma(\vec E + \vec v \times \vec B) </math> In Koordinatenschreibweise ergeben sich daraus drei Gleichungen.

<math>

\begin{matrix} &\frac{\mathrm{d}(m_0\gamma v_x)}{\mathrm{d}\tau} & = q\left(\tfrac{E_x}{c} \gamma c + B_z \gamma v_y - B_y \gamma v_z \right) \\ &\frac{\mathrm{d}(m_0\gamma v_y)}{\mathrm{d}\tau} & = q\left(\tfrac{E_y}{c} \gamma c + B_x \gamma v_z - B_z \gamma v_x \right) \\ &\frac{\mathrm{d}(m_0\gamma v_z)}{\mathrm{d}\tau} & = q\left(\tfrac{E_z}{c} \gamma c+ B_y \gamma v_x - B_x \gamma v_y \right) \end{matrix} </math>

Auf der rechten Seite taucht die Vierergeschwindigkeit <math>u^\mu=(\gamma c, \gamma\vec v)</math> auf. Auf der linken Seite der Viererimpuls <math>p_\mu=m_0u_\mu</math> mit <math>p_\mu=(m_0\gamma c, -m_0\gamma\vec v)</math> in der Metrik (+,−,−,−):

<math>

\begin{matrix} &\frac{\mathrm{d}p_x}{\mathrm{d}\tau}=-\frac{\mathrm{d}(m_0\gamma v_x)}{\mathrm{d}\tau} & = q\left(-\tfrac{E_x}{c} \gamma c - B_z \gamma v_y + B_y \gamma v_z \right) \\ &\frac{\mathrm{d}p_y}{\mathrm{d}\tau}=-\frac{\mathrm{d}(m_0\gamma v_y)}{\mathrm{d}\tau} & = q\left(-\tfrac{E_y}{c} \gamma c - B_x \gamma v_z + B_z \gamma v_x \right) \\ &\frac{\mathrm{d}p_z}{\mathrm{d}\tau}=-\frac{\mathrm{d}(m_0\gamma v_z)}{\mathrm{d}\tau} & = q\left(-\tfrac{E_z}{c} \gamma c- B_y \gamma v_x + B_x \gamma v_y \right) \end{matrix} </math>

Da die Koordinate <math>x^0</math> die Zeit in der Relativitätstheorie repräsentiert und die zur Zeit konjugierte Variable die Energie ist, können wir das Gleichungssystem um eine weitere Gleichung ergänzen, dem Differential der Teilchenenergie <math>m_0\gamma c^2=p^0c</math>. Dabei gilt zu beachten das nur das elektrische Feld Arbeit am Teilchen leistet.

<math>\tfrac{\mathrm{d}p^0c}{\mathrm{d}\tau}=\tfrac{\mathrm{d}(m_0\gamma c^2)}{\mathrm{d}\tau}=\gamma \vec F\cdot\vec v=q\gamma(\vec E + \vec v \times \vec B)\cdot\vec v=q\gamma\vec E\cdot\vec v</math>

Mit <math>p_0=p^0</math> lautet die vierte Gleichung:

<math>\tfrac{\mathrm{d}p_0}{\mathrm{d}\tau}=\tfrac{\mathrm{d}(m_0\gamma c)}{\mathrm{d}\tau}=q\tfrac{\vec E}{c}\cdot(\gamma\vec v)</math>

Nun erkennt man den Charakter der linearen Abbildung. Das Produkt der Feldkomponenten mit den Koordinatenkomponenten lässt sich elegant in der Matrixschreibweise darstellen.

<math>

\left( \begin{matrix} \tfrac{\mathrm{d}(m_0\gamma c)}{\mathrm{d}\tau} \\ -\frac{\mathrm{d}(m_0\gamma v_x)}{\mathrm{d}\tau} \\ -\frac{\mathrm{d}(m_0\gamma v_y)}{\mathrm{d}\tau} \\ -\frac{\mathrm{d}(m_0\gamma v_y)}{\mathrm{d}\tau} \end{matrix} \right) = q \begin{pmatrix} 0 & \tfrac{1}{c}E_{x} & \tfrac{1}{c}E_{y} & \tfrac{1}{c}E_{z}\\[6pt] -\tfrac{1}{c}E_{x} & 0 & -B_{z} & B_{y}\\[6pt] -\tfrac{1}{c}E_{y} & B_{z} & 0 & -B_{x}\\[6pt] -\tfrac{1}{c}E_{z} & -B_{y} & B_{x} & 0 \end{pmatrix} \left( \begin{matrix} \gamma c \\ \gamma v^x \\ \gamma v^y \\ \gamma v^z \end{matrix} \right) </math>

Mit der Vierergeschwindigkeit <math>u^\mu=(\gamma c, \gamma\vec v)</math> folgt aus der Gleichung

<math>

\tfrac{\mathrm{d}p_{\mu}}{\mathrm{d}\tau} = qF_{\mu\nu} u^{\nu} </math> der elektromagnetische Feldstärketensor

<math>

F_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & \tfrac{1}{c}E_{x} & \tfrac{1}{c}E_{y} & \tfrac{1}{c}E_{z}\\[6pt] -\tfrac{1}{c}E_{x} & 0 & -B_{z} & B_{y}\\[6pt] -\tfrac{1}{c}E_{y} & B_{z} & 0 & -B_{x}\\[6pt] -\tfrac{1}{c}E_{z} & -B_{y} & B_{x} & 0 \end{pmatrix} </math>

Beispiel: Elektromagnetischer Feldstärketensor einer relativistischen Teilchenbewegung in einem konstanten Magnetfeld

Ein Teilchen bewegt sich in <math>z</math>-Richtung durch ein konstantes Magnetfeld in <math>x</math>-Richtung. Das Feld wird durch den Feldstärketensor beschrieben:

<math>F_{\mu\nu}=

\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[6pt] 0 & 0 & 0 & -B_{x}\\[6pt] 0 & 0 & B_{x} & 0 \end{pmatrix}=F^{\mu\nu}</math>

Die relativistische Bewegungsgleichung <math> \tfrac{\text{d} p_\mu}{\text{d} \tau}=m_0\tfrac{\text{d}u_\mu}{\text{d}\tau}=qF_{\mu\nu}u^\nu </math> mit dem Viererimpuls <math>p_\mu=m_0u_\mu</math> lautet in Koordinatenschreibweise<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>m_0\frac{\text{d}u_\mu}{\text{d}\tau}=

m_0\frac{\text{d}\,\,\,}{\text{d}\tau}\begin{pmatrix}

\gamma c \\
-u_x\\
-u_y\\
-u_z\\

\end{pmatrix}=qF_{\mu\nu}u^\nu=q\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[6pt] 0 & 0 & 0 & -B_{x}\\[6pt] 0 & 0 & B_{x} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}

\gamma c \\
u_x\\
u_y\\
u_z\\

\end{pmatrix}=q \begin{pmatrix}

0 \\
0\\
-u_zB_x\\
u_yB_x\\

\end{pmatrix}</math> mit <math>u_\mu=(\gamma c,-\gamma\vec{v}\,)</math> und <math>u^\nu=(\gamma c,\gamma\vec{v}\,)</math>. Das entspricht dem Gleichungssystem:

<math>\begin{align}

m_0\frac{\text{d}\gamma c\,\,}{\text{d}\tau}&=0\qquad\Rightarrow\qquad \gamma_0=\tfrac{1}{\sqrt{1-v_0^2/c^2}}=\text{konstant}\\
-m_0\frac{\text{d}\gamma v_x}{\text{d}\tau}&=0 \qquad\Rightarrow\qquad v_x=\text{konstant} \\

-m_0\frac{\text{d}u_y}{\text{d}\tau}&=-qB_xu_z\\ -m_0\frac{\text{d}u_z}{\text{d}\tau}&=qB_xu_y\qquad\Rightarrow\qquad \frac{\text{d}^2u_z}{\text{d}\tau^2}=-\omega_{\text{Zykl.}}^2u_z \end{align}</math> mit der Zyklotronfrequenz

<math>\omega_{\text{Zykl.}}=\frac{qB_x}{m_0}</math>

Die Vierergeschwindigkeit <math>u^\nu</math> zu den Anfangsbedingungen <math>u^\nu(\tau=0)=(\gamma_0 c,0,0,\gamma_0 v_0)</math> ist<ref name="Flie236">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>u^\nu(\tau)=(\gamma_0 c,0,\gamma_0 v_0\sin(\omega_{\text{Zykl.}}\tau),\gamma_0 v_0\cos(\omega_{\text{Zykl.}}\tau))</math>

Nach nochmaliger Integration mit den Anfangsbedingungen <math>x^\nu(\tau=0)=(0,0,0,0)</math> lautet die Lösung der Bewegungsgleichungen:<ref name="Flie236"/>

<math>x^\nu(\tau)=\left(\gamma_0 c\tau,0,-\tfrac{\gamma_0 v_0}{\omega_{\text{Zykl.}}}[\cos(\omega_{\text{Zykl.}}\tau)-1],\tfrac{\gamma_0 v_0}{\omega_{\text{Zykl.}}}\sin(\omega_{\text{Zykl.}}\tau)\right)</math>

Die Bahnkurve der Teilchen

<math>\left(\tfrac{\gamma_0 v_0}{\omega_{\text{Zykl.}}}-y\right)^2+z^2=\left(\tfrac{\gamma_0 v_0}{\omega_{\text{Zykl.}}}\right)^2</math>

ist ein Kreis senkrecht zum Magnetfeld.

Beispiel: Elektromagnetischer Feldstärketensor einer relativistische Teilchenbewegung in einem konstanten elektrischen Feld

Ein Teilchen der Masse <math>m</math> und der Ladung <math>q</math> bewegt sich mit der Anfangsgeschwindigkeit <math>\vec v(t=0)=v_0\, \vec e_x</math> in <math>x</math>-Richtung durch ein homogenes elektrisches Feld in <math>z</math>-Richtung <math>\vec E=E_z \,\vec e_z</math>. Das Feld wird durch den Feldstärketensor beschrieben:

<math>F_{\mu\nu}=

\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & E_z/c\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[6pt] -E_z/c & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=-F^{\mu\nu}</math>

Die relativistische Bewegungsgleichung <math> \tfrac{\text{d} p_\mu}{\text{d} \tau}=m_0\tfrac{\text{d}u_\mu}{\text{d}\tau}=qF_{\mu\nu}u^\nu </math> mit <math>p_\mu=m_0u_\mu</math> lautet in Koordinatenschreibweise<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>m_0\frac{\text{d}u_\mu}{\text{d}\tau}=

m_0\frac{\text{d}\,\,\,}{\text{d}\tau}\begin{pmatrix}

\gamma c \\
-\gamma v_x\\
-\gamma v_y\\
-\gamma v_z\\

\end{pmatrix}=qF_{\mu\nu}u^\nu=q\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & E_z/c\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[6pt] -E_z/c & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}

\gamma c \\
\gamma v_x\\
\gamma v_y\\
\gamma v_z\\

\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}

\tfrac{qE_z}{c}\gamma v_z \\
0\\
0\\
-qE_z\gamma\\

\end{pmatrix}</math> mit <math>u_\mu=(\gamma c,-\gamma\vec{v}\,)</math> und <math>u^\nu=(\gamma c,\gamma\vec{v}\,)</math>. Das entspricht dem Gleichungssystem mit den Anfangsbedingungen <math>u^\nu(t=0)=(\gamma_0 c,\gamma_0 v_0,0,0)</math>:

<math>\begin{align}

m_0\frac{\text{d}\gamma c\,\,}{\text{d}\tau}&=\tfrac{qE_z}{c}\gamma v_z\qquad\Rightarrow\qquad \frac{\text{d}\gamma \,\,}{\text{d}\tau}=\tfrac{qE_z}{m_0c^2}\gamma v_z\\
-m_0\frac{\text{d}\gamma v_x}{\text{d}\tau}&=0 \qquad\Rightarrow\qquad v_x=\text{konstant} \\

-m_0\frac{\text{d}\gamma v_y}{\text{d}\tau}&=0\qquad\Rightarrow\qquad v_y=\text{konstant}=0 \\ -m_0\frac{\text{d}\gamma v_z}{\text{d}\tau}&=-qE_z\gamma\qquad\Rightarrow\qquad \frac{\text{d}^2\gamma v_z}{\text{d}\tau^2}=\left(\tfrac{qE_z}{m_0c}\right)^2\gamma v_z \end{align}</math> Eine Integration liefert die Vierergeschwindigkeit <math>u^\nu</math> zu diesen Anfangsbedingungen:<ref name="Flie234">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>u^\nu(\tau)=\left(\gamma_0 c\cosh(\tfrac{qE_z}{m_0c}\tau),\gamma_0 v_0\tau,0,\gamma_0 c\sinh(\tfrac{qE_z}{m_0c}\tau)\right)</math>

Nach nochmaliger Integration mit den Anfangsbedingungen <math>x^\nu(\tau=0)=(0,0,0,0)</math> lautet die Lösung der Bewegungsgleichungen:<ref name="Flie234"/>

<math>x^\nu(\tau)=\left(\tfrac{\gamma_0 m_0c^2}{qE_z}\sinh(\tfrac{qE_z}{m_0c}\tau),\gamma_0 v_0\tau,0,\tfrac{\gamma_0 m_0c^2}{qE_z}[\cosh(\tfrac{qE_z}{m_0c}\tau)-1]\right)</math>

Die Bahnkurve der Teilchen ergibt sich mit <math>\tau=x/(\gamma_0 v_0)</math>

<math>z(x)=\tfrac{\gamma_0 m_0c^2}{qE_z}\left[\cosh(\tfrac{qE_z}{\gamma_0m_0 v_0c}\,x)-1\right]=2\tfrac{\gamma_0 m_0c^2}{qE_z}\sinh^2(\tfrac12\tfrac{qE_z}{\gamma_0m_0 v_0c}\,x)</math>

Darstellung in Differentialformschreibweise

Homogene Maxwell-Gleichungen in Differentialformschreibweise

Der Feldstärketensor <math>\mathsf{F}</math> ist eine Differentialform zweiter Stufe auf der Raumzeit mit der Metrik <math>\eta_{ab}=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)</math>:

<math> \mathsf{F} =\tfrac12 F_{\mu\nu}\,\mathrm{d}x^\mu\wedge\mathrm{d}x^\nu</math>

Mit dem Levi-Civita-Symbol <math>\epsilon^{0123}=+1</math> und der Matrixdarstellung der kovarianten Komponenten des Faraday-Tensors

<math>F_{\mu\nu}=

\begin{pmatrix} 0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\ -E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z/c & -B_y & B_x & 0 \\ \end{pmatrix}</math> gilt:<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>\mathsf{F} =E_x\,\text{d}t\wedge\text{d}x+E_y\,\text{d}t\wedge\text{d}y+E_z\,\text{d}t\wedge\text{d}z-B_x\,\text{d}y\wedge\text{d}z-B_y\,\text{d}z\wedge\text{d}x-B_z\,\text{d}x\wedge\text{d}y</math>

Die äußere Ableitung ist:

<math>\begin{align}\text{d}\mathsf{F}&=-(\nabla\cdot\vec{B})\,\text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z-(\dot B_x+\partial_yE_z-\partial_zE_y)\,\text{d}t\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z-\\

&-(\dot B_y+\partial_zE_x-\partial_xE_z)\, \text{d}t\wedge\text{d}z\wedge\text{d}x-(\dot B_z+\partial_xE_y-\partial_yE_x)\,\text{d}t\wedge\text{d}x\wedge\text{d}y\end{align}</math> Verschwindet <math>\text{d}\mathsf{F}=0</math>, so ergibt sich die erste Gruppe der Maxwell-Gleichungen im Vakuum:<ref name="Misn111">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>\color{Red}\text{d}\mathsf{F}=0\quad\Rightarrow\quad \nabla\cdot\vec{B}=0\quad\text{und}\quad \nabla\times\vec E+\dot{\vec B}=0</math>

Mit <math>\text{d}\mathsf{F}=0</math> ist der elektromagnetische Feldstärketensor eine geschlossene 2-Form. Damit gibt es ein Vektorpotential <math>A_i=(\tfrac{\phi}{c},-\vec A)</math> als 1-Form:

<math>\mathsf{A}=A_i\,\text{d}x^i=\tfrac{\phi}{c}\,c\text{d}t-A_x\,\text{d}x-A_y\,\text{d}y-A_z\,\text{d}z=\phi\text{d}t-\vec A\cdot\text{d}\vec r</math>

mit der äußeren Ableitung

<math>

\text{d}\mathsf{A} = \textstyle (-\nabla\phi-\dot{\vec A})\cdot\text{d}t\wedge\text{d}\vec r-(\partial_yA_z-\partial_zA_y)\,\text{d}y\wedge\text{d}z-(\partial_zA_x-\partial_xA_z)\,\text{d}z\wedge\text{d}x-(\partial_xA_y-\partial_yA_x)\,\text{d}x\wedge\text{d}y=\mathsf{F}

</math> falls <math>\vec E=-\nabla\phi-\dot{\vec A}</math> und <math>\vec B=\nabla\times\vec A</math> sind.

Inhomogene Maxwell-Gleichungen in Differentialformschreibweise

Mit dem dualen elektromagnetischen Feldstärketensor

<math>

      \widetilde{F}_{\mu\nu} =\eta_{\mu\alpha}\widetilde{F}^{\alpha\beta}\eta_{\beta\nu}= \left(\begin{matrix}
                  0  & B_x & B_y & B_z \\
                 -B_x &   0  &  E_z/c & -E_y/c \\
                 -B_y & -E_z/c &   0  &  E_x/c \\
                 -B_z &  E_y/c & -E_x/c &   0  \\
      \end{matrix}\right)

</math> wird der Hodge-Stern-Operator <math>\star</math> auf den elektromagnetischen Feldstärketensor <math>\mathsf{F}</math> gebildet:<ref name="Penrose443">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math> \star \mathsf{F} =\tfrac12 \widetilde{F}_{\mu\nu}\,\mathrm{d}x^\mu\wedge\mathrm{d}x^\nu=B_x\,c\text{d}t\wedge\text{d}x+B_y\,c\text{d}t\wedge\text{d}y+B_z\,c\text{d}t\wedge\text{d}z+\tfrac{1}{c}E_x\,\text{d}y\wedge\text{d}z+\tfrac{1}{c}E_y\,\text{d}z\wedge\text{d}x+\tfrac{1}{c}E_z\,\text{d}x\wedge\text{d}y</math>

Hier ist die äußere Ableitung:

<math>\begin{align}\text{d}{\star\mathsf{F}}&=(\tfrac{1}{c}\nabla\cdot\vec{E})\,\text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z+(\tfrac{1}{c^2}\dot E_x-\partial_yB_z+\partial_zB_y)\,c\text{d}t\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z+\\

&+(\tfrac{1}{c^2}\dot E_y-\partial_zB_x+\partial_xB_z)\, c\text{d}t\wedge\text{d}z\wedge\text{d}x+(\tfrac{1}{c^2}\dot E_z-\partial_xB_y+\partial_yB_x)\,c\text{d}t\wedge\text{d}x\wedge\text{d}y\end{align}</math>

Der Dual der kovarianten Viererstromdichte <math>j_\mu=(\rho c,-\vec j\,)</math> ist <math>{\widetilde j}^{\mu\nu\alpha}=\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\,j_{\beta}</math> bzw. in Matrixschreibweise:<ref name="Penrose443"/>

<math>({\widetilde j}^{\mu\nu\alpha})= \left(\begin{matrix}

                  {\widetilde j}^{123} \\
                 {\widetilde j}^{023} \\
                 {\widetilde j}^{031} \\
                 {\widetilde j}^{012}  \\
      \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}
                  -\rho c \\
                 -j_x \\
                 -j_y \\
                 -j_z  \\
      \end{matrix}\right)</math>

oder auch kovariant:

<math>({\widetilde j}_{\mu\nu\alpha})=\eta_{\mu\rho}\eta_{\nu\sigma}\eta_{\alpha\beta}{\widetilde j}^{\rho\sigma\beta}= \left(\begin{matrix}

                  \rho c \\
                 -j_x \\
                 -j_y \\
                 -j_z  \\
      \end{matrix}\right)</math>

Die Hodge-duale Dreiform der Stromdichte lautet somit:

<math> \star \mathsf{j} ={\widetilde j}_{\mu\nu\alpha}\,\mathrm{d}x^\mu\wedge\mathrm{d}x^\nu\wedge\mathrm{d}x^\alpha=\rho c\,\text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z-j_x\,c\text{d}t\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z-j_y\,c\text{d}t\wedge\text{d}z\wedge\text{d}x-j_z\,c\text{d}t\wedge\text{d}x\wedge\text{d}y</math>

Damit entspricht die Beziehung

<math>\color{Red}\text{d}\,{\star\mathsf{F}}=\mu_0\,{\star \mathsf{j}} </math>

den inhomogenen Maxwell-Gleichungen:<ref name="Penrose445">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>\tfrac{1}{c}\nabla\cdot\vec{E}=\mu_0 c\rho\quad\Rightarrow\quad \nabla\cdot\vec{E}= \tfrac{1}{\varepsilon_0}\rho,</math>

und

<math>\tfrac{1}{c^2}\dot {\vec E}-\nabla\times\vec{B}=-\mu_0\vec j \quad\Rightarrow\quad \tfrac{1}{\mu_0}\nabla\times\vec{B}=\vec j+\varepsilon_0\dot {\vec E}</math>

Aus der Tatsache <math>\text{d}^2=0</math> folgt die Ladungserhaltung <math>\dot\rho+\nabla\cdot\vec j=0</math>, denn<ref name="Penrose445"/>

<math>\text{d}^2\,{\star\mathsf{F}}=0=\mu_0\,\text{d}\,{\star \mathsf{j}}=(\dot\rho+\nabla\cdot\vec j) \,c\text{d}t\wedge \text{d}x\wedge\text{d}y\wedge\text{d}z</math>

Die Maxwell-Gleichungen lauten in Differentialformschreibweise <math>\ast \mathrm{d} F = j_\mathrm{mag}</math> und <math>\ast \mathrm{d} \ast \mathrm F = j</math> mit der magnetischen Stromdichte <math>j_\mathrm{mag}</math> und der elektrischen Stromdichte <math>j</math>, beide als 1-Formen wiederum auf der Raumzeit.

Da in der Regel von der Abwesenheit magnetischer Ladungen ausgegangen wird, ist <math>\mathrm dF=0</math>, und der Feldstärketensor kann somit als Ableitung <math>F = \mathrm{d} A</math> einer 1-Form <math>A</math> dargestellt werden. <math>A</math> entspricht dem raumzeitlichen Vektorpotential. Bei Anwesenheit magnetischer Ladungen nimmt man ein weiteres Vektorpotential hinzu, dessen Quelle die magnetische Stromdichte ist.

Beispiele

Differentialform der Feldstärke einer Punktladung

Das elektrische Feld <math>\vec E= \tfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\tfrac{q}{r^2}\vec e_r=E_r\vec e_r</math> einer Punktladung <math>q</math> wird im elektromagnetischen Feldstärketensorin Polarkoordinaten <math>(r,\vartheta,\varphi)</math> wie folgt dargestellt:<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>F_{\mu\nu}=

\begin{pmatrix} 0 & E_r/c & 0 & 0 \\ -E_r/c & 0 & 0 & 0 \\ 0c & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}</math> Damit lässt sich der Feldstärketensor der ruhenden Punktladung <math>q</math> als Differentialform schreiben als

<math>\mathsf{F} =\tfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\tfrac{q}{r^2}\,\mathrm{d}t\wedge \mathrm{d}r = -\tfrac{q}{4\pi\varepsilon_0} \mathrm{d}t \land \mathrm{d}\tfrac{1}{r}</math>

mit dem Abstand <math>r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</math>. Es gilt <math>\mathrm{d}\mathsf{F}= 0</math>.

Sein dualer Tensor

<math>

      \widetilde{F}_{\mu\nu} = \left(\begin{matrix}
                  0  & 0 & 0 & 0 \\
                 0 &   0  &  0 & 0 \\
                 0 & 0 &   0  &  E_r/c \\
                 0 &  0 & -E_r/c &   0  \\
      \end{matrix}\right)

</math> lautet als Differentialform<ref name="Misn107">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>{\star}\mathsf{F}=\widetilde{F}_{23}\,\text{d}x^2\wedge \text{d}x^3=\tfrac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\tfrac{1}{c}r^2\sin\vartheta\,\text{d}\vartheta\wedge \text{d}\varphi=\tfrac{q}{4\pi\varepsilon_0c}\sin\vartheta\,\text{d}\vartheta\wedge \text{d}\varphi</math>

Es gilt ebenso die inhomogene Maxwell-Gleichung mit der Ladungsdichte <math>\rho</math> und <math>\mu_0 c=\tfrac{1}{\varepsilon_0c}</math>:

<math>\int_{\partial V}{\star}\mathsf{F}=\int_0^\pi\int_0^{2\pi}\tfrac{q}{4\pi\varepsilon_0c}\sin\vartheta\,\text{d}\vartheta\wedge \text{d}\varphi=\tfrac{q}{\varepsilon_0c}=\mu_0\int_V \rho c\,\text{d}V</math>

Eine entsprechende Lorentztransformation liefert den Feldstärketensor einer gleichförmig bewegten Ladung.

Differentialform der Feldstärke einer ebenen Welle

Die ebene Welle mit Kreisfrequenz <math>\omega</math> bewegt sich in <math>z</math>-Richtung mit einer Polarisation in <math>x</math>-Richtung. Für die Amplituden des elektrischen Feldes <math>E_x</math> und der magnetischen Flussdichte <math>B_y</math> gilt:<ref name="Misn103">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>\tfrac{1}{c}E_x=B_y=\tfrac{1}{c}E_0\cos\omega(t-\tfrac{1}{c}z)</math>

Der Faraday-Feldstärketensor einer ebenen Welle ist also

<math>F_{\mu\nu}=

\begin{pmatrix} 0 & \tfrac{1}{c}E_x & 0 & 0 \\ -\tfrac{1}{c}E_x & 0 & 0 & B_y \\ 0c & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -B_y & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}</math> oder als 2-Form:

<math>\begin{align}

\mathsf{F} & = E_x\,\text{d}t\wedge\text{d}x-B_y\,\text{d}z\wedge\text{d}x=E_0\cos\omega(t-\tfrac{1}{c}z)\,\text{d}t\wedge \text{d}x-\tfrac{1}{c}E_0\cos\omega(t-\tfrac{1}{c}z)\,\text{d}z\wedge\text{d}x= \\

& =  E_0\cos\omega(t-\tfrac{1}{c}z) \text{d}(t-\tfrac{1}{c}z)\wedge\text{d}x\qquad\text{mit }\text{d}\mathsf{F}=0

\end{align}</math> Als Differentialform ergibt sich sein dualer Tensor

<math>

      \widetilde{F}_{\mu\nu} = \left(\begin{matrix}
                  0  & 0 & B_y & 0 \\
                 0 &   0  &  0 & 0 \\
                 -B_y & 0 &   0  &  E_x/c \\
                 0 &  0 & -E_x/c &   0  \\
      \end{matrix}\right)

</math> zu:

<math>{\star}\mathsf{F}=B_y\,c\text{d}t\wedge \text{d}y-\tfrac{1}{c}E_x \text{d}z\wedge \text{d}y=\tfrac{1}{c}E_0\cos\omega(t-\tfrac{1}{c}z) \text{d}(t-\tfrac{1}{c}z)\wedge\text{d}y</math>

Die 4-Form <math>\tfrac{1}{2} F \land * F</math> ist die Lagrange-Dichte des elektromagnetischen Feldes.

Ableitung der vektoriellen Feldgrößen

Relativ zur Bewegung eines Beobachters durch Raum und Zeit kann der Feldstärketensor in einen elektrischen und einen magnetischen Anteil zerlegt werden. Der Beobachter nimmt diese Anteile als elektrische beziehungsweise magnetische Feldstärke wahr. Unterschiedliche zueinander bewegte Beobachter können daher unterschiedliche elektrische oder magnetische Feldstärken wahrnehmen.

Beispiel: Wird in einem elektrischen Generator relativ zu einem „magnetischen“ Feld ein Draht bewegt, dann hat der Feldstärketensor bei Zerlegung relativ zur Drahtbewegung und somit aus Sicht der im Draht enthaltenen Elektronen auch einen elektrischen Anteil, der für die Induktion der elektrischen Spannung verantwortlich ist.

In flacher Raumzeit (Minkowski-Raum) lassen sich die Vektorfelder <math>\vec{E}</math> und <math>\vec{B}</math> aus der Koordinatendarstellung <math>F = \tfrac{1}{2} F_{\mu\nu} \mathrm{d}x^\mu\land\mathrm{d}x^\nu</math> des Feldstärketensors ablesen: man erhält die obige Matrixdarstellung. Eine allgemeinere Beziehung ergibt sich aus der Zerlegung <math>F = u \land E + \ast(u \land B)</math>, wo <math>u</math> einem zeitartigen und <math>E</math>, <math>B</math> raumartigen Vektorfeldern entsprechen.<ref>Sylvan A. Jacques: Relativistic Field Theory of Fluids. Vorlage:ArXiv</ref>

Auftreten in der Quantenelektrodynamik

Der Feldstärketensor tritt direkt in der QED-Lagrangedichte (hier ohne Eichfixierungsterme) auf:

<math>

\mathcal{L}_\mathrm{QED}=\bar{\psi}\left[ i\gamma_{\mu}D^{\mu}-m\right] \psi -\frac{1}{4}F_{\mu\nu }F^{\mu \nu } </math>

Literatur

J. D. Jackson: Klassische Elektrodynamik. de Gruyter, 2002, ISBN 3-11-016502-3.
C. Misner, K. S. Thorne, J. A. Wheeler: Gravitation. W. H. Freeman, San Francisco 1973, ISBN 0-7167-0344-0.
Torsten Fließbach: Allgemeine Relativitätstheorie. Spektrum Akademischer Verlag, 2003, ISBN 3-8274-1356-7.

Einzelnachweise