Einparameter-Untergruppe

In der Theorie topologischer Gruppen ist eine Einparameter-Untergruppe ein stetiger Gruppenhomomorphismus aus der additiven Gruppe der reellen Zahlen in eine topologische Gruppe. Das Bild einer Einparameter-Untergruppe ist eine Untergruppe im gruppentheoretischen Sinne.

Einparameter-Untergruppen von Lie-Gruppen

Sei <math>G</math> eine Lie-Gruppe, dann ist eine Abbildung <math> \varphi : \mathbb R \rightarrow G </math> eine Einparameter-Untergruppe, wenn die Abbildung glatt und ein Gruppenhomomorphismus ist. Für Homomorphismen zwischen Lie-Gruppen ist Glattheit äquivalent zu Stetigkeit. Jede Einparameter-Untergruppe entspricht genau einem Element in der Lie-Algebra von <math>G</math>. Je nach Zugang wird die Lie-Algebra manchmal sogar definiert als die Menge der Einparameter-Untergruppen.

Beispiele

• Die stetigen Gruppenhomomorphismen <math> \mathbb R \to \mathbb R </math> von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in sich selber sind genau die Abbildungen <math> x \mapsto \lambda x </math> für ein festes <math> \lambda \in \mathbb R </math>.
• Die stetigen Gruppenhomomorphismen <math> \mathbb R \to \mathbb R^\times </math> von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in die multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen reellen Zahlen sind genau die Abbildungen <math> x \mapsto a^x</math> für ein festes <math>a \in \R_{>0} </math>.

Literatur

• John Frank Adams, Lectures on Lie groups, Benjamin, 1969