Einfeldträger
Der Einfeldträger oder auch Träger auf zwei Stützen ist das einfachste statische Element. Er ist das Grundelement vieler Brücken und Gebäude und wird in der Technischen Mechanik häufig als Übungsbeispiel verwendet.
Der Träger ist statisch bestimmt. Unter Belastung entstehen in den beiden Lagern drei Auflagerreaktionen. Die Auflagerkräfte können ohne aufwändige Rechenverfahren ermittelt werden.
Äußere Kräfte
Auflagereaktionen
| <math>A_v</math> | vertikale Auflagerreaktion in Auflager A (Festlager; Gelenklager) |
| <math>A_h</math> | horizontale Auflagereaktion in Auflager A |
| <math>B_v</math> | vertikale Auflagerreaktion in Auflager B (Loslager; Rollenlager) |
| <math>B_h=0</math> | horizontale Auflagerreaktion in Auflager B (verschwindet, da reibungsfrei beweglich gelagert) |
Lasten
| <math>F_n</math> | äußere Kräfte <math>F_1</math>, <math>F_2</math> usw. |
| <math>M_n</math> | äußere Momente <math>M_1</math>, <math>M_2</math> usw. |
| <math>q</math> | Streckenlast |
Innere Kräfte (Schnittgrößen)
| <math>N_x</math> | Normalkraft im Balken |
| <math>Q_z</math> | Querkraft im Balken |
| <math>M_y</math> | Moment im Balken |
Gleichgewichtsbedingungen
Alle äußeren Lasten und alle Auflagerkräfte sind im Gleichgewicht.
- Summe aller Vertikalkräfte: z. B. <math>\sum F_v=0=F_{1,z} +F_{2,z} +A_v +B_v</math>
- Summe aller Horizontalkräfte: z. B. <math>\sum F_h=0=F_{1,x} +F_{2,x} +A_h</math>
- Summe aller Momente: z. B. <math>\sum M_A=0=F_{1,z} \cdot x_1 +F_{2,z} \cdot x_2+B_v \cdot L</math>
In den drei Formeln sind drei Unbekannte enthalten <math> A_v </math>, <math> A_h </math>, <math> B_v </math>, die nach mathematischen Regeln lösbar sind. Es sind die Vorzeichen allerdings strikt zu beachten. Hier und in der oberen Skizze sind positiv: Vertikale Kräfte von oben nach unten, Horizontale Kräfte von links nach rechts, rechtsdrehende Momente.
Maximales Biegemoment bei Gleichlast
Als maximales Biegemoment eines Einfeldträgers mit Gleichlast ergibt sich:
- <math>M_\mathrm{max} = \frac{q \cdot l^2}{8}</math>
| <math>M_\mathrm{max}</math> | maximales Biegemoment in Feldmitte [kNm] |
| <math>q</math> | Streckenlast [kN/m] |
| <math>l</math> | Stützweite des Trägers [m] |
Mit dieser Formel lassen sich auch viele andere statische Systeme in guter Näherung (auf der sicheren Seite) berechnen. Sie wird daher gerne für Überschlagsrechnungen ohne EDV-Unterstützung verwendet. Für den gelenkig gelagerten Einfeldträger mit Gleichlast ist die Formel allerdings eine exakte Lösung. Die Momentenlinie bildet dabei immer eine Parabel.
Herleitung:
Aus den Summenformeln für horizontale und vertikale Kräfte ergibt sich folgendes:
- <math>A_h=0\,</math>
- <math>A_v=B_v= \frac{q \cdot l}{2}</math>
Die x-Achse wird in diesem Fall von links und in A beginnend angenommen:
- <math>M(x)= A_v \cdot x - q \cdot x \cdot \frac{x}{2}</math>
- <math>M(x)= q \cdot l \cdot \frac{x}{2} -q \cdot \frac{x^2}{2}</math>
Das Maximalmoment ist immer an der Stelle, wo die erste Ableitung der Momentenlinie null ist. Die erste Ableitung von M(x) nach x ergibt folgende Formel:
- <math>M'(x) = q \cdot \frac {l}{2}-q \cdot x </math>
Nullsetzen der Formel ergibt einen x-Wert für die Stelle des lokalen Maximums:
- <math>0=q \cdot \frac {l}{2}-q \cdot x </math>
- <math>x= \frac {l}{2}</math>
Durch Einsetzen dieses Wertes in M(x) erhält man:
- <math>M(x)=M_\mathrm{max} = \frac{q \cdot l^2}{8}</math>
Parabelstich
Die obige Formel kann ebenfalls dazu verwendet werden, den Parabelstich zu ermitteln, wenn neben einer Gleichlast auch einzelne Lasten auftreten (Knick in der Momentenlinie).
Siehe auch
Literatur
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