Einfarbige Lösung

Im mathematischen Teilgebiet der diskreten Zahlentheorie insbesondere in der Ramsey-Theorie beschreibt der Begriff einfarbige Lösung die Eigenschaft bestimmter Zahlen einer gefärbten Zahlenmenge <math>x_1 \ldots x_k \in [1,n] \subseteq \mathbb{N}</math> gleich gefärbt zu sein und eine bestimmte Gleichung <math>f(x)</math> zu erfüllen.

Definition

Sei <math>\chi</math> eine <math>r</math>-Färbung einer Menge von positiven Ganzzahlen und <math>f</math> eine Gleichung in Abhängigkeit von den Variablen <math>x_1 \ldots x_n</math>. <math>\chi</math> besitzt genau dann eine einfarbige Lösung unter <math>f</math>, wenn Werte für <math>x_1 \ldots x_n</math> existieren, die <math>f</math> erfüllen und die gleiche Färbung unter <math>\chi</math> besitzen.<ref>Anusch Taraz: Diskrete Mathematik: Grundlagen und Methoden. 2012. Auflage. Birkhäuser, 2012, ISBN 978-3-7643-8898-0, S. 81 f. </ref>

Eigenschaften

Obige Definition erlaubt die Darstellung <math>f: c_1 x_1 + \ldots + c_{n-1} x_{n-1} = x_n</math>, wobei die <math>c_i</math> beliebige Faktoren sein können.
Spezialfälle von <math>f</math> haben aufgrund ihrer Bedeutung einen Namen erhalten. So heißen beispielsweise Zahlen <math>{x,y,z}</math> mit x + y = z Schur-Tripel.
Für <math>n=3</math> beschreibt <math>f</math> eine Ebene im dreidimensionalen Anschauungsraum.

Beispiele

Der Satz von Van der Waerden sichert die Existenz der Van-der-Waerden-Zahlen, insbesondere von <math>w(3,r)</math>, der Zahl, für die es in der <math>r</math>-Färbung einer Zahlenmenge mit <math>w(3,r)</math> Elementen stets eine arithmetische Folge der Länge 3 gibt. Wir können diese Zahlen als <math>\{a,a+d,a+2d\}</math> schreiben. Wir wählen anschließend <math>x=a, y=a+2d</math> und <math>z = a+d</math>. Es entsteht als einfarbige Lösung die Gleichung <math>x+y = 2z</math> mit <math>x \not= y</math>, eine Ebenengleichung.

Ein weiteres Beispiel und Färbungsproblem der Ebene untersuchen die Schur-Zahlen.

Einzelnachweise