Dynkin-System
Ein Dynkin-System (manchmal auch λ-System genannt) ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Es ist benannt nach dem russischen Mathematiker Eugene Dynkin. Sie sind in Kombination mit dem Dynkinschen π-λ-Satz ein wichtiges Hilfsmittel zur Herleitung von Eindeutigkeitsaussagen in der Maßtheorie und Stochastik (siehe Maßeindeutigkeitssatz).
Definition
Eine Teilmenge <math>\mathcal{D}</math> der Potenzmenge <math>\mathcal{P}(\Omega)</math> einer Grundmenge <math>\Omega</math> heißt Dynkin-System über <math>\Omega</math>, falls sie die folgenden Eigenschaften besitzt:<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
- Das System enthält die Grundmenge:
- <math>\Omega \in \mathcal{D}</math>.
- Das System ist abgeschlossen unter Bildung von Komplementen:
- <math>A \in \mathcal{D} \implies A^c \in \mathcal{D}</math>.
- Das System ist abgeschlossen bezüglich abzählbarer Vereinigungen paarweise disjunkter Mengen:
- <math>\{A_n\}_{n\in\mathbb{N}} \subset \mathcal{D} </math> disjunkt <math>\implies\bigcup_{n \in\mathbb{N}} A_{n}\in \mathcal{D}</math>
δ-Operator
Beliebige Durchschnitte von Dynkin-Systemen über <math>\Omega</math> ergeben wieder ein Dynkin-System. Ist daher <math>\mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(\Omega)</math> ein Mengensystem, dann wird durch
- <math>\delta(\mathcal{E}) := \bigcap_{\mathcal{E} \subseteq \mathcal{S}\atop \mathcal{S}\text{ Dynkin-System}}\mathcal{S}.</math>
ein Dynkin-System <math>\delta(\mathcal{E})</math> definiert, genannt das von <math>\mathcal{E}</math> erzeugte Dynkin-System. Es ist das kleinste Dynkin-System, welches <math>\mathcal{E}</math> enthält. <math>\mathcal{E}</math> heißt Erzeuger von <math>\delta(\mathcal{E})</math>.
Der δ-Operator ist ein Hüllenoperator. Teilweise wird er entsprechend der Namensgebung als <math> \lambda </math>-System auch als <math> \lambda</math>-Operator <math> \lambda (\cdot) </math> notiert. Weitere alternative Bezeichnungen sind <math> d(\mathcal E) </math> oder <math> \mathcal D(\mathcal E) </math>.
Das Dynkin-System-Argument
Mit Dynkin-Systemen lassen sich in vielen Fällen Aussagen über σ-Algebren relativ einfach beweisen. Sei <math>\alpha</math> eine Aussage, die für Mengen <math> A \subseteq \Omega </math> entweder zutrifft oder nicht. Weiter sei <math>\Sigma</math> eine σ-Algebra mit einem durchschnittsstabilen Erzeuger <math>\mathcal{E}</math>, für dessen Elemente man <math>\alpha</math> zeigen kann. Nach dem Prinzip der guten Mengen betrachtet man nun das Mengensystem <math>\mathcal{D} := \{A \in \Sigma \colon A \mbox{ erfüllt } \alpha\}</math> und zeigt, dass es ein Dynkin-System ist. Dann folgt wegen der Durchschnittsstabilität von <math> \mathcal{E} </math> einerseits <math> \delta(\mathcal{E}) = \sigma(\mathcal{E})</math>, andererseits gilt aber auch <math>\mathcal{E} \subseteq \mathcal{D} \subseteq \Sigma</math> und damit wegen <math> \Sigma = \sigma(\mathcal{E}) = \delta(\mathcal{E}) \subseteq \mathcal{D} </math> schon <math> \Sigma = \mathcal{D} </math>.
Die definierenden Eigenschaften eines Dynkin-Systems sind oft einfacher nachzuweisen, weil bei der Abgeschlossenheit gegenüber abzählbarer Vereinigung nur Folgen von paarweise disjunkten Einzelmengen betrachtet werden müssen, während bei σ-Algebren diese Zusatzeigenschaft nicht zur Verfügung steht.
Zusammenhang mit weiteren Mengensystemen
Der Unterschied zwischen Dynkin-System und σ-Algebra in den definierenden Eigenschaften ist, dass im Dynkin-System lediglich die abzählbare Vereinigung von paarweise disjunkten Mengen aus <math>\mathcal{D}</math> wieder ein Element des Dynkin-Systems <math>\mathcal{D}</math> sein muss, während bei einer σ-Algebra beliebige abzählbare Vereinigungen von Mengen aus der σ-Algebra <math>\mathcal{S}</math> wieder ein Element der σ-Algebra <math>\mathcal{S}</math> sein muss.
σ-Algebren
Jede σ-Algebra ist immer auch ein Dynkin-System. Umgekehrt ist jedes durchschnittsstabile Dynkinsystem auch eine σ-Algebra. Ein Beispiel<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> für ein Dynkin-System, das keine σ-Algebra ist, ist
- <math> \mathcal M = \{\emptyset,\{1,2\},\{3,4\},\{1,4\},\{2,3\},\{1,2,3,4\}\} </math>
auf der Grundmenge <math> \Omega= \{1,2,3,4\} </math>. Das Mengensystem ist ein Dynkin-System, aber keine Algebra (da nicht schnittstabil) und damit auch keine σ-Algebra.
Es gilt außerdem der dynkinsche π-λ-Satz: Ist <math> \mathcal E </math> ein durchschnittsstabiles Mengensystem, so stimmen die von <math> \mathcal E </math> erzeugte σ-Algebra und das von <math> \mathcal E </math> erzeugte Dynkin-System überein.
Monotone Klassen
Dynkin-Systeme lassen sich auch über monotone Klassen definieren: Ein Mengensystem <math> \mathcal D </math> ist genau dann ein Dynkin-System, wenn <math>\mathcal{D}</math> eine monotone Klasse ist, welche die Obermenge <math> \Omega </math> enthält und in der für beliebige Mengen <math> A,B \in \mathcal{D}</math> mit <math> B \subset A </math> auch <math> A \setminus B \in \mathcal{D} </math> gilt.
Literatur
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Einzelnachweise
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