Dynkin-Index

In der Mathematik wird der Dynkin-Index <math>T_R</math> einer irreduziblen Darstellung R definiert als

<math>\mathrm{Spur}(T^a T^b) = \delta^{ab} T_R </math>

worin <math>T^a</math> die Erzeugenden der Darstellung sind. Der Begriff trägt seinen Namen zu Ehren des russischen Mathematikers Eugene Dynkin.

Für eine Darstellung <math>|\lambda|</math> der Lie-Algebra <math>g</math> mit dem höchsten Gewicht <math>\lambda</math> wird der Dynkin-Index <math>\chi_{\lambda}</math> definiert als

<math>\chi_{\lambda}=\frac{\dim(|\lambda|)}{2\dim(g)}(\lambda, \lambda +2\rho)</math>

worin der Weyl-Vektor

<math>\rho=\frac{1}{2}\sum_{\alpha\in \Delta^+} \alpha</math>

gleich der Hälfte der Summe aller positiven Wurzeln von <math>g</math> ist. Ist als Spezialfall <math>\lambda</math> die größte Wurzel, das heißt, <math>|\lambda|</math> ist die adjungierte Darstellung, so ist der Dynkin-Index <math>\chi_{\lambda}</math> gleich der dualen Coxeter-Zahl.

Literatur

• Philippe Di Francesco, Pierre Mathieu, David Sénéchal: Conformal Field Theory. Springer-Verlag, New York 1997, ISBN 0-387-94785-X.