Duale C*-Algebra

Die dualen C*-Algebren, auch C*-Algebren kompakter Operatoren genannt, sind eine spezielle Unterklasse von in der Mathematik betrachteten C*-Algebren. Sie zeichnen sich durch eine besonders einfache Struktur aus.

Definition

Ist <math>M\subset A</math> eine Teilmenge einer Algebra <math>A</math>, so heißt <math>\mbox{lan}(M):= \{x\in A;\, xM=\{0\}\}</math> der Links-Annullator von <math>M</math>. Entsprechend heißt <math>\mbox{ran}(M):= \{x\in A;\, Mx=\{0\}\}</math> der Rechts-Annullator von <math>M</math>. Ganz allgemein nennt man eine Banachalgebra dual, wenn folgende Dualitätsbeziehungen bestehen:

<math>\mbox{lan}(\mbox{ran})(I)\,=\,I</math> für alle abgeschlossenen Linksideale <math>I\subset A</math>,
<math>\mbox{ran}(\mbox{lan})(I)\,=\,I</math> für alle abgeschlossenen Rechtsideale <math>I\subset A</math>.

Bei C*-Algebren folgt jede der Bedingungen aus der jeweils anderen, da sich Links- und Rechtideale via Involution eineindeutig entsprechen.

Charakterisierungen

Eine C*-Algebra heißt elementar, wenn es einen Hilbertraum <math>H</math> gibt, so dass sie isomorph zur Algebra <math>K(H)</math> der kompakten Operatoren auf <math>H</math> ist. Das eingeschränkte Produkt einer Familie <math>(A_i)_i</math> von C*-Algebren ist die Unteralgebra des kartesischen Produktes der <math>A_i</math>, die aus allen Tupeln <math>(x_i)_i</math> besteht, für die <math>\{i;\,\|x_i\|>\epsilon\}</math> für jedes <math>\epsilon > 0</math> endlich ist. Zusammen mit der Norm <math>\|(x_i)_i\| := \sup_i\|x_i\|</math> ist dies wieder einer C*-Algebra. Mit diesen Begriffsbildungen gilt nun:

Für eine C*-Algebra <math>A</math> sind folgende Aussagen äquivalent:

<math>A</math> ist eine duale C*-Algebra.
Die Summe der minimalen Linksideale liegt dicht in <math>A</math>.
Die Summe der minimalen Rechtsideale liegt dicht in <math>A</math>.
<math>A</math> ist isomorph zu einer Unter-C*-Algebra einer elementaren C*-Algebra.
<math>A</math> ist isomorph zu einem eingeschränkten Produkt einer Familie elementarer C*-Algebren.
Das Gelfand-Spektrum jeder maximalen kommutativen Unter-C*-Algebra ist diskret.
Für jedes <math>x\in A</math> ist der Operator der Linksmultiplikation <math>L_x:\,A\rightarrow A,\, y\mapsto xy</math> ein schwach-kompakter Operator.
Für jedes <math>x\in A</math> ist der Operator der Rechtsmultiplikation <math>R_x:\,A\rightarrow A,\, y\mapsto yx</math> ein schwach-kompakter Operator.

Dabei heißt ein Operator schwach-kompakt, wenn das Bild einer beschränkten Menge in der schwachen Topologie einen kompakten Abschluss hat.

Wegen dieser Charakterisierung nennt man duale C*-Algebren auch C*-Algebren kompakter Operatoren.

Beispiele

Die Matrizen-Algebren <math>M_n(\Complex)</math> <math>={\Complex}^{n\times n}</math> sind elementar und daher dual, allgemeiner sind alle endlich-dimensionalen C*-Algebren dual.
Die Folgenalgebra <math>c_0</math> der komplexen Nullfolgen ist eingeschränktes Produkt von abzählbar vielen Kopien von <math>\Complex \cong M_1(\Complex)</math> und daher dual.
Ist <math>H</math> ein Hilbertraum und ist <math>A</math> eine Unter-C*-Algebra von <math>K(H)</math>, so ist <math>A</math> dual. Nach obiger Charakterisierung erhält man so bis auf Isomorphie alle dualen C*-Algebren.
Die Funktionenalgebra <math>C([0,1])</math> ist nicht dual, denn sie ist kommutativ und hat kein diskretes Gelfand-Spektrum. Aus demselben Grunde sind die Folgenalgebren <math>c</math> und <math>\ell^\infty</math> der konvergenten bzw. beschränkten Folgen nicht dual.

Eigenschaften

Aus obigen Charakterisierungen ergibt sich leicht, dass Unter-C*-Algebren von dualen C*-Algebren und eingeschränkte Produkte dualer C*-Algebren wieder dual sind.

Duale C*-Algebren sind liminal.

Die Darstellungstheorie dualer C*-Algebren ist sehr einfach. Liegt die C*-Algebra als eingeschränktes Produkt elementarer C*-Algebren <math>K(H_i)</math> vor, so sind die irreduziblen Darstellungen bis auf Äquivalenz genau die Projektionen auf die Komponenten <math>K(H_i)</math>.

Quellen

W. Arveson: Invitation to C*-algebras, ISBN 0387901760
J. Dixmier: Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1969