Dreiecksfunktion
Die Dreiecksfunktion, auch tri-Funktion, triangle-Funktion oder tent-Funktion, ist eine mathematische Funktion mit folgender Definition:
- <math>
\begin{align} \operatorname{tri}(t) = \land (t) \quad &\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \ \max(1 - |t|, 0) \\ &= \begin{cases} 1 - |t|, & |t| < 1 \\ 0, & \mbox{ansonsten} \end{cases} \end{align} </math>.
Sie kann dazu gleichwertig auch als Faltung der Rechteckfunktion <math>\operatorname{rect}</math> mit sich selbst definiert werden, wie es auch in nebenstehender Abbildung anschaulich dargestellt ist:
- <math>\begin{align}
\operatorname{tri}(t) = \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t) \quad &\overset{\mathrm{def}}{=} \int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(\tau) \cdot \mathrm{rect}(t-\tau)\ d\tau\\ &= \int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(\tau) \cdot \mathrm{rect}(\tau-t)\ d\tau \end{align}</math>.
Durch einen Parameter <math>a \neq 0</math> kann die Dreiecksfunktion skaliert werden:
- <math>
\begin{align} \operatorname{tri}(t/a) &= \begin{cases} 1 - |t/a|, & |t| < |a| \\ 0, & \mbox{ansonsten} . \end{cases} \end{align} </math>
Die Dreiecksfunktion findet vor allem im Bereich der Signalverarbeitung zur Darstellung von idealisierten Signalverläufen Anwendung. Sie dient dort neben der Gauß-Funktion, der Heaviside-Funktion und der Rechteckfunktion zur Beschreibung von Elementarsignalen. Technische Anwendungen liegen im Bereich von Optimalfiltern oder bei Fensterfunktionen wie dem Bartlett-Fenster.
Die Fourier-Transformation der Dreiecksfunktion ergibt die quadrierte si-Funktion:
- <math>
\begin{align} \mathcal{F}\{\operatorname{tri}(t)\} &= \mathrm{si}^2(\pi f) . \end{align} </math>
Allgemeine Form
Im Allgemeinen möchte man die Dreiecksfunktion skalieren. Von Interesse sind hierbei die Streckung in x-Richtung sowie die Höhe an der Spitze. Für die Streckung ist <math>T</math> die halbe Periodendauer, also die Distanz vom Beginn der Dreiecksfunktion bis zum Mittelpunkt <math>t_0</math>. Die Höhe an der Stelle <math>t_0</math> ist durch
- <math>a \cdot \operatorname{tri}\left(\frac{t-t_0}{T}\right)</math>
gegeben.
Ableitung
Die Ableitung der Dreiecksfunktion stellt eine Summe von zwei Rechteckfunktionen <math>\operatorname{rect}</math> dar:
- <math>\frac{a}{T}\left(\operatorname{rect}\left(\frac{t-(t_0-T/2)}{T}\right) - \operatorname{rect}\left(\frac{t-(t_0+T/2)}{T}\right)\right) </math>
welche sich auch als Summe von drei Sprungfunktionen <math>\epsilon</math> darstellen lassen:
- <math>\frac{a}{T}\left(\operatorname{\epsilon}(t-(t_0-T)) - 2 \operatorname{\epsilon}(t-t_0) + \operatorname{\epsilon}(t-(t_0+T)) \right),</math>
wobei <math>2T</math> die Periodendauer, <math>t_0</math> den Mittelpunkt und <math>a</math> die Höhe der Dreiecksfunktion darstellen. Der Vorfaktor <math>\tfrac{a}{T} </math> tritt daher als Steigung der Dreiecksfunktion in der Ableitung auf.
Dreieckschwingung
Eine Dreieckschwingung ist im Gegensatz zur hier dargestellten Dreiecksfunktion eine periodische Funktion, die sich durch periodische Fortsetzung des Intervalls <math>[-1,1]</math> ergibt, im Allgemeinen ergänzt um einen konstanten Offset. Eine Dreieckschwingung im engeren Sinne enthält keinen Gleichanteil, die Minima und Maxima sind also dem Betrage nach gleich.
Die Funktion
- <math>\Delta(t) = 2 a\cdot \left| \max (1-((2 f \cdot t ) \bmod 2),-1)\right| -a</math>
bzw. die Fourierreihe
- <math>\frac{8 a}{\pi^2} \cdot \sum _{n=1}^\infty \frac{\cos ((2 n-1)\cdot \omega \cdot t)}{(2 n-1)^2}</math>
omega mit <math>a</math> für die Amplitude und <math>\omega</math> für die Kreisfrequenz erzeugt ein kontinuierliches Dreieckssignal.
Verallgemeinert und mit der Sinusgrundfunktion der Form
- <math> a(t) = \widehat{a} \cdot \sin ( \omega t + \varphi) </math>
in Einklang gebracht folgt:
- <math> \Delta(t) = 2 a \cdot \left| \max (1-((2 f \cdot (t - T\frac{2\varphi+\pi}{4\pi}) \bmod 2)), -1 ) \right| - a </math>.
Quelle
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